Равенство смешанных производных

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.

Само утверждение о равенстве смешанных производных в различных источниках упоминается как теорема Шварца, теорема Клеро или теорема Янга.

Теорема

Определение смешанной производной

Пусть дана достаточно гладкая (скалярная) функция $f$ многих переменных:

$(1)\qquad f=f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})$

Мы можем взять частную производную этой функции по одному из аргументов $x_{i}$, считая остальные аргументы постоянными параметрами. В результате мы получим новую функцию:

$(2)\qquad \phi (x_{i})={\partial f \over \partial x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_{n}=const}$

Эта новая функция тоже зависит от остальных аргументов как от параметров. То есть численное значение $\phi$ в общем случае зависит от тех же переменных $x_{1},x_{2},\dots x_{n}$, что и оригинальная функция $f$:

$(3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\dots x_{n})$

Если функция $\phi$ окажется достаточно гладкой, то мы можем и её продифференцировать, взяв частную производную по тому же самому или по другому аргументу $x_{j}$:

$(4)\qquad {\partial \phi \over \partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}$

Если $j\neq i$, то выражение в правой части равенства (4) называется смешанной производной.

Основа теоремы

Для гладкой функции многих переменных значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования:

$(5)\qquad {\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}$

Теорема является базовой в теории функций многих переменных и широко применяется в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии.

Необходимая степень гладкости

Уточнять необходимую степень гладкости следует поэтапно.

• 1. Справедливость для аналитической функции (теорема).
• 2. Справедливость для более широкого класса функций, имеющих в окрестности точки только такие непрерывные производные:

$(6)\qquad {\partial f \over \partial x_{i}},\;{\partial f \over \partial x_{j}},\;{\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}},{\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}$

• 3. Поскольку для фиксированных индексов $i,j$ все производные из перечня (6) берутся при условии, что любой третий аргумент $x_{k}$ является константой, то функция $f$ (а также все производные (6)) может быть разрывной в отношении третьих аргументов. Например, составим функцию из двух слагаемых:

$f(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=\Phi (x_{i},x_{j})+Z(\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_{j-1},x_{j+1},\dots )$

где первое слагаемое является гладкой функцией двух аргументов, а второе слагаемое разрывной во всех точках.

Дальнейшее уточнение гладкости функции нужно делать в ходе доказательства теоремы, оно будет сформулировано в самом конце.

Доказательство теоремы

Как указано выше, для доказательства теоремы можно не рассматривать зависимость функции от третьих аргументов. Поэтому для простоты записи изменим обозначения $x_{i},x_{j}$ на $x,y$, то есть будем рассматривать такую функцию двух переменных:

$(7)\qquad f=f(x,y)$

Также для упрощения формул будем обозначать частные производные индексами внизу функции:

$(8)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f(x,y) \over \partial x},\;f_{y}(x,y)={\partial f(x,y) \over \partial y}$

$(8a)\qquad f_{xy}={\partial ^{2}f \over \partial x\partial y},\;f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}$

Пусть в точке $(x,y)$ существует смешанная производная:

$(9)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,y)-f_{y}(x,y) \over \Delta x}$

Предположим, что смешанная производная $f_{xy}$ существует в точке $(x,y)$, а также существует первая производная $f_{y}(x,y)$ вдоль (горизонтальной) прямой $y=const$.

Далее, разность производных равна производной от разности, поэтому превращаем формулу (9) в:

$(10)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\left[f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\right]$

Это преобразование никаких дополнительных условий не накладывает, поскольку разность дифференцируемых функций всегда является функцией дифференцируемой.

Далее, разность в квадратных скобках формулы (10) можно записать в виде определённого интеграла от производной:

$(11)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi$

Нужно, чтобы существовала частная производная $f_{x}$ вдоль прямой $y=const$.

Теперь частную производную по игрек в формуле (11) запишем согласно определению производной как предела:

$(12)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{1 \over \Delta y}\left(\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y+\Delta y)d\xi -\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi \right)$

Как видно, надо, чтобы частная производная $f_{x}$ существовала не только на прямой $y=const$, но в некоторой двухмерной окрестности точки $(x,y)$.

Далее, разность интегралов равна интегралу от разности, причём под знак интеграла можно внести постоянный множитель ${1 \over \Delta y}$:

$(13)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}{f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}d\xi$

Это преобразование также не накладывает дополнительных условий, поскольку разность интегрируемых функций является функцией интегрируемой.

По теореме Лагранжа, подынтегральное выражение в формуле (13) равно производной в средней точке:

$(14)\qquad {f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}=f_{yx}(\xi ,\eta )$

Средняя точка является функцией:

$(14a)\qquad \eta =\eta (\xi ,\Delta y)$,

значения которой лежат в интервале (если, например, $\Delta y>0$)

$(14b)\qquad \eta \in \,[y,y+\Delta y]$

Для справедливости (14) нужно существование смешанной производной $f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}$ в некоторой двухмерной окрестности точки $(x,y)$.

Для окончания доказательства надо принять, что смешанная производная непрерывна в точке $(x,y)$ как функция двух переменных. Значение этой производной в близкой точке $(\xi ,\eta )$ равно с точностью до бесконечно малого слагаемого значению производной в точке $(x,y)$:

$(15)\qquad f_{yx}(\xi ,\eta )=f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y)$

Смешанная производная $f_{yx}$ существует в двухмерной окрестности точки $(x,y)$ и непрерывна в этой точке как функция двух переменных.

Подставим (14) и (15) в (13):

$(16)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi$

Заметим, что формула (16) эквивалентна формуле (13) (хотя и в других обозначениях), а потому интеграл и обе границы существуют. Поскольку подынтегральная функция в (16) интегрируема, а первое слагаемое $f_{yx}(x,y)$ является константой по переменной интегрирования $\xi$, то второе слагаемое тоже оказывается интегрируемым, и мы можем разбить интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых легко берётся как интеграл от константы:

$(17)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi =\int _{x}^{x+\Delta x}f_{yx}(x,y)d\xi +\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi =$

$=f_{yx}\Delta x+\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi$

После подстановки (17) в (16) мы можем вынести постоянное слагаемое сначала за пределы первой границы, а затем за пределы другой границы:

$(18)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\left(f_{yx}(x,y)\Delta x+\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \right)=$

$=f_{yx}(x,y)+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi$

Покажем, что второе слагаемое в последнем выражении формулы (18) равно нулю. Возьмём произвольное положительное число $\epsilon$. Непрерывность смешанной производной $f_{yx}$ в точке $(x,y)$ означает, что существует такое положительное число $\delta$, что для каждой точки $(\xi ,\eta )$ внутри квадрата $|\xi -x|<\delta ,\;|\eta -y|<\delta$ справедливо неравенство:

$(19)\qquad |o(\xi -x,\eta -y)|=|f_{yx}(\xi ,\eta )-f_{yx}(x,y)|<\epsilon$

Если мы возьмём положительные числа $\Delta x<\delta ,\;\Delta y<\delta$, то интеграл в последнем слагаемом формулы (18) оценивается сверху:

$(20)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi <\int _{x}^{x+\Delta x}\epsilon d\xi =\epsilon \Delta x$

Обозначим это слагаемое $L$

$(21)\qquad L=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \leq \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\epsilon \Delta x=\epsilon$

Аналогично (если взять $-\epsilon <\Delta x<0$), имеем оценку снизу:

$(22)\qquad L\geq -\epsilon$

Поскольку положительное число $\epsilon$ может быть сколь угодно малым, то с необходимостью следует $L=0$. Теорема доказана.

Уточнение гладкости функции

Как видно в ходе доказательства, от функции требуется существование одной смешанной производной (например, $f_{xy}$) в точке, а также существование второй смешанной производной $f_{yx}$ в двумерной окрестности точки и её непрерывность в этой точке. Из этого условия также следует существование производной $f_{y}$ вдоль отрезка прямой $y=const$ и существование производной $f_{x}$ в двумерной окрестности точки.

Кроме того, существование $f_{xy}$ в точке $(x,y)$ следует из двух фактов: (а) существует производная $f_{y}$ вдоль отрезка прямой $y=const$, проходящей через точку $(x,y)$, (б) смешанная производная $f_{yx}$ существует и непрерывна в этой точке.

Пример

Рассмотрим функцию

$(23)\qquad f(x,y)=xy+y^{2}\chi (y)$

где функция Дирихле $\chi (y)$ равна нулю в рациональных точках $y={m \over n}$ и единице в иррациональных. Функция (23) определена на всей плоскости; непрерывна (как функция двух переменных) вдоль прямой $y=0$ и разрывна во всех других точках плоскости.

Везде существует непрерывная частная производная:

$(24)\qquad f_{x}(x,y)={\partial f \over \partial x}=y$

а также одна из смешанных производных:

$(25)\qquad f_{yx}(x,y)={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}=1$

Частная производная по игрек существует лишь в точках прямой $y=0$:

$(26)\qquad f_{y}(x,0)=x$

Также в этих же точках прямой существует вторая смешанная производная:

$(27)\qquad f_{xy}(x,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,0)-f_{y}(x,0) \over \Delta x}=1$

Как видим, для точек прямой $y=0$ условия теоремы выполняются, и обе смешанные производные равны.

Контрпример

Рассмотрим функцию двух переменных $x,y$

$(28)\qquad f(x,y)={|ax+by|^{3} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

где буквами $a,b$ обозначены некоторые ненулевые параметры. Формула (28) задаёт непрерывную функцию всюду на плоскости за исключением начала координат $x=0,\;y=0$. Мы можем доопределить функцию $f(x,y)$ в начале координат

$(29)\qquad f(0,0)=0$

Согласно этим определениям функция будет непрерывной также и в начале координат, что можно видеть, представив формулу (28) в полярной системе координат (и направляя $r\rightarrow 0$):

$(30)\qquad f(r,\phi )=(a^{2}+b^{2})^{3 \over 2}\,r^{2}|\sin(\phi +\phi _{0})|^{3}$

Покажем, что для этой доопределённой функции $f(x,y)$ смешанные производные в начале координат существуют, но не равны между собой.

Сначала вычислим первые производные $f_{x},\,f_{y}$. Как промежуточный результат, заметим, что функция «куб модуля» дважды дифференцируема, и её первая и вторая производные вычисляются по формулам:

$(31)\qquad {d \over dx}|x|^{3}=3x|x|$

$(31a)\qquad {d^{2} \over dx^{2}}|x|^{3}={d \over dx}(3x|x|)=6|x|$

Теперь, учитывая (28) и (31), запишем первые производные функции $f(x,y)$ в точке плоскости, отличной от начала координат ($r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$):

$(32)\qquad f_{x}=3a{(ax+by)|ax+by| \over r}-{x \over r^{3}}|ax+by|^{3}$

$(33)\qquad f_{y}=3b{(ax+by)|ax+by| \over r}-{y \over r^{3}}|ax+by|^{3}$

Можно также вычислить первые производные в начале координат, исходя из определения производной:

$(32a)\qquad f_{x}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f(x,0)-f(0,0) \over x}=\lim _{x\rightarrow 0}{|ax|^{3} \over {x|x|}}=0$

Аналогично

$(33a)\qquad f_{y}(0,0)=0$

Перейдём теперь к вычислению смешанных производных в начале координат:

$(34)\qquad f_{xy}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f_{y}(x,0)-f_{y}(0,0) \over x}=\lim _{x\rightarrow 0}{1 \over x}\left({3bax|ax| \over |x|}\right)=3ab|a|$

Аналогичное вычисление даёт:

$(35)\qquad f_{yx}(0,0)=3ab|b|$

Легко видеть, что формулы (34) и (35) дают разные результаты, если:

$(36)\qquad |a|>0,\;|b|>0,\;|a|\neq |b|$

Причина этого неравенства в том, что не выполняется условие теоремы — обе смешанные производные (хотя существуют везде) являются разрывными в начале координат.

Можно также рассмотреть функцию

$f(x,y)={xy(x^{2}-y^{2}) \over x^{2}+y^{2}}$

Упрощенное доказательство для аналитических функций

Аналитическая функция двух переменных (по крайней мере локально) разлагается в сходящийся степенной ряд:

$(37)\qquad f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\infty }a_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0})^{m}$

Как известно, степенной ряд можно дифференцировать почленно в пределах его радиуса сходимости. Таким образом, найдём первые производные:

$(38)\qquad f_{x}=\sum _{n,m=0}^{\infty }na_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_{0})^{m}$

$(39)\qquad f_{y}=\sum _{n,m=0}^{\infty }ma_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0})^{m-1}$

Повторное дифференцирование (38) и (39) даёт одну и ту же формулу для обеих смешанных производных:

$(40)\qquad f_{xy}=f_{yx}=\sum _{n,m=0}^{\infty }nma_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_{0})^{m-1}$

См. также

• Смешанная частная производная

Литература

• Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics (неопр.). — Springer, 2001. — ISBN 978-1556080104.
• Kleinert, H. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation (англ.). — World Scientific, 2008. — ISBN 978-981-279-170-2.