Теорема Клеро
Теоре́ма Клеро́ — закон, описывающий зависимость между параметрами сфероида, силой тяжести на его поверхности и коэффициентами разложения гравитационного потенциала. Опубликован в 1743 году французским математиком А. Клеро в работе фр. Théorie de la figure de la Terre, tirée des principes de l'hydrostatique («Теория формы Земли, извлечённая из принципов гидростатики»)[1], где Клеро привёл физические и геодезические доказательства того, что Земля имеет форму сплюснутого эллипсоида вращения[2][3]. Выведенная Клеро закономерность позволяла рассчитать параметры земного эллипсоида на основе измерений силы тяжести на разных широтах.
Формула Клеро для ускорения силы тяжести g на поверхности Земли на широте выглядит следующим образом[4][5]:
![{\displaystyle g=G\left[1+\left({\frac {5}{2}}m-f\right)\sin ^{2}\varphi \right]\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ceed33845b12cf3cdf7f28bd3b0a8a2926b4cb3)
где G — значение ускорения силы тяжести на экваторе, m — отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе и f — величина сплюснутости земного эллипсоида, определяемая как:
(где a — большая полуось, b — малая полуось Земли соответственно).
Вышеприведённую формулу Клеро рассматривал как справедливую при условии, что рассматривается гидростатически равновесная модель, где массы распределены в виде тонких сфероидальных слоев[6]. Впоследствии Пьер Лаплас смягчил исходное предположение, предположив, что поверхности равной плотности являются сфероидами[7]. Дж. Стокс в 1849 году показал, что, если известна поверхность планеты, являющаяся поверхностью уровня, которая охватывает все массы, известны также планетоцентрическая гравитационная постоянная и угловая скорость вращения, то гравитационное поле может быть однозначно определено во внешнем пространстве[8].
Реальная форма Земли является результатом взаимодействия между силой тяготения и центробежной силой, вызванной вращением Земли вокруг своей оси[9][10]. В своих «Началах» Исаак Ньютон предложил считать Землю эллипсоидом вращения с коэффициентом сплюснутости f, равным 1/230[11][12]. Применяя теорему Клеро, Лаплас на основе 15 измерений величины силы тяжести получил оценку: F = 1/330. Современная оценка этой величины: 1/298,25642[13].
Уравнение Сомильяны
правитьВышеприведённая формула Клеро для расчёта величины земного тяготения впоследствии была заменена более точным уравнением Сомильяны (выведено итальянским математиком Карло Сомильяной[англ.]):
![{\displaystyle g=G\left[{\frac {1+k\sin ^{2}\phi }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}\right]\ ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc8c02ecb4e89bf07ff14087193d7eb0cc39ce88)
где для Земли: G = 9,7803267714 м/с²; k = 0,00193185138639 ; e = 0,00669437999013[14].
См. также
правитьПримечания
править- ↑ From the catalogue of the scientific books in the library of the Royal Society. Дата обращения: 3 октября 2017. Архивировано 3 июля 2014 года.
- ↑ Wolfgang Torge. Geodesy: An Introduction. — 3rd. — Walter de Gruyter, 2001. — С. 10. — ISBN 3-11-017072-8. Архивировано 3 июля 2014 года.
- ↑ Edward John Routh. A Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples (англ.). — Adamant Media Corporation, 2001. — Vol. Vol. 2. — P. 154. — ISBN 1-4021-7320-2. Архивировано 19 апреля 2022 года. A reprint of the original work published in 1908 by Cambridge University Press.
- ↑ W. W. Rouse Ball[англ.]. A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908). Дата обращения: 30 июля 2015. Архивировано 11 января 2011 года.
- ↑ Walter William Rouse Ball. A short account of the history of mathematics (англ.). — 3rd. — Macmillan Publishers, 1901. — P. 384.
- ↑ Poynting, John Henry; Joseph John Thompson. A Textbook of Physics, 4th Ed. — London: Charles Griffin & Co., 1907. — С. 22—23.
- ↑ Isaac Todhunter. A History of the Mathematical Theories of Attraction and the Figure of the Earth from the Time of Newton to that of Laplace (англ.). — Elibron Classics. — Vol. Vol. 2. — ISBN 1-4021-1717-5. Архивировано 10 июня 2022 года. Reprint of the original edition of 1873 published by Macmillan and Co.
- ↑ Теорема Стокса. Дата обращения: 30 июля 2015. Архивировано 4 марта 2016 года.
- ↑ John P. Vinti, Gim J. Der, Nino L. Bonavito. Orbital and Celestial Mechanics. — American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1998. — С. 171. — (Progress in astronautics and aeronautics, v. 177). — ISBN 1-56347-256-2. Архивировано 16 апреля 2022 года.
- ↑ Arthur Gordon Webster. The Dynamics of Particles and of Rigid, Elastic, and Fluid Bodies: being lectures on mathematical physics (англ.). — B.G. Teubner, 1904. — P. 468.
- ↑ Isaac Newton: Principia Book III Proposition XIX Problem III, p. 407 in Andrew Motte translation.
- ↑ See the Principia on line at Andrew Motte Translation
- ↑ Table 1.1 IERS Numerical Standards (2003))
- ↑ Eq. 2.57 in MIT Essentials of Geophysics OpenCourseWare notes. Дата обращения: 6 июля 2020. Архивировано 11 июля 2020 года.