Теорема Карно (термодинамика)

Теорема Карно — теорема о коэффициенте полезного действия (КПД) тепловых двигателей. Согласно этой теореме, КПД цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и конструкции теплового двигателя и является функцией температур нагревателя и холодильника.

История

В 1824 году Сади Карно опубликовал работу «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», в которой он сформулировал основные положения теории тепловых машин, описал замкнутый термодинамический цикл рабочего тела тепловой машины. В этой же работе он впервые изложил второе начало термодинамики. В своей работе Карно пришел к выводу: «Движущая сила тепла не зависит от агентов, взятых для её развития; её количество исключительно определяется температурами тел, между которыми, в конечном счете, производится перенос теплорода».

С. Карно расуждал о движущей силе тепла по аналогии с силой падающей воды и описал предельное количество энергии, которую можно извлечь из разницы температур нагретых тел.

…можно с достаточным основанием сравнить движущую силу тепла с силой падающей воды: обе имеют максимум, который нельзя превзойти, какая бы ни была бы в одном случае машина для использования действия воды, и в другом — вещество, употребленное для развития силы тепла

Движущая сила падающей воды зависит от высоты падения и количества воды; движущая сила тепла также зависит от количества употребленного теплорода и зависит от того, что можно назвать и что мы на самом деле и будем называть высотой его падения, — то есть от разности температур тел, между которыми происходит обмен теплорода. При падении воды движущая сила строго пропорциональна разности уровней в верхнем и нижнем резервуаре. При падении теплорода движущая сила без сомнения возрастает с разностью температур между горячим и холодным телами…

Формулировки

Некоторые современные авторы (К. В. Глаголев , А. Н. Морозов из МГТУ им. Н. Э. Баумана), а также ранее Д.В.Сивухин (МФТИ) говорят уже о двух теоремах Карно, цитата: «Приведенные выше рассуждения позволяют перейти к формулировке первой и второй теорем Карно. Их можно сформулировать в виде двух следующих утверждений:

1. Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя и холодильника: $\eta =1-F(T_{H},T_{X}).$

2. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников: $\eta _{n}<\!\eta _{o}.$

Другие авторы (например, Б. М. Яворский и Ю. А. Селезнев) указывают на три аспекта одной теоремы Карно, цитата (см. стр. 151—152.):

3°. Термический к.п.д. обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и определяется только температурами нагревателя $T_{H}$ и холодильника $T_{X}$:

$\eta _{k}={\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}=1-{\frac {T_{X}}{T_{H}}}.$

$\eta _{k}<1$, ибо практически невозможно осуществить условие $T_{H}\rightarrow \infty$ и теоретически невозможно осуществить холодильник, у которого : $T_{X}=0$.

4°. Термический к.п.д. $\eta _{o}$ произвольного обратимого цикла не может превышать термический к.п.д. обратимого цикла Карно, осуществленного между теми же температурами $T_{H}$ и $T_{X}$ нагревателя и холодильника:

$\eta _{o}<{\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}.$

5°. Термический к.п.д. $\eta _{n}$ произвольного необратимого цикла всегда меньше термического к.п.д. обратимого цикла Карно, проведенного между температурами $T_{H}$ и $T_{X}$:

$\eta _{n}<{\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}.$

Пункты 3° — 5° составляют содержание теоремы Карно.

Доказательства теоремы Карно

Существует несколько различных доказательств этой теоремы.

Рассуждение Сади Карно

…В различных положениях поршень испытывает давления более или менее значительные со стороны воздуха, находящегося в цилиндре; упругая сила воздуха меняется как от изменения объёма, так и от изменения температуры, но необходимо заметить, что при равных объёмах, то есть для подобных положений поршня, при разрежении температура будет более высокой, чем при сжатии. Поэтому в первом случае упругая сила воздуха будет больше, а отсюда движущая сила, произведенная движением от расширения, будет больше, чем сила, нужная для сжатия. Таким образом, получится излишек движущей силы, излишек, который можно на что-нибудь употребить. Воздух послужит нам тепловой машиной; мы употребили его даже наиболее выгодным образом, так как не происходило ни одного бесполезного восстановления равновесия теплорода.

Современное доказательство для идеального газа

Одно из доказательств представлено в книге Д. тер Хаара и Г. Вергеланда «Элементарная термодинамика» (см. рис).

Один из возможных вариантов теоретического цикла Карно

Процесс D-E:

Поскольку газ идеальный, $(dU/dV)_{T}=0$ и внутренняя энергия остается постоянной. Все тепло, полученное от резервуара при температуре $T_{H}$, превращается во внешнюю работу:

$Q_{D-E}=\int \limits _{ik}^{cd}p{dV}=RT_{H}\ln {\frac {V_{cd}}{V_{ik}}}.\qquad$ [1]

Процесс В-C:

Подобным же образом, работа, совершенная при изотермическом сжатии, превращается в тепло, которое передается холодному резервуару:

$Q_{B-C}=\int \limits _{gh}^{ef}p{dV}=RT_{X}\ln {\frac {V_{ef}}{V_{gh}}}.\qquad$ [2]

Процессы E-B и C-D:

Поскольку газ идеальный и $U$ зависит только от температуры $T$, из уравнения $Q=U_{2}-U_{1}+A$ следует, что работа, совершаемая в одном из этих двух адиабатических процессов, полностью компенсирует работу, совершаемую в другом процессе. Действительно, пользуясь адиабатическим условием $C_{V}dT+pdV=0$, получаем:

$C_{V}(T_{H}-T_{X})=\int \limits _{cd}^{gh}pdV=-\int \limits _{ef}^{ik}pdV.$

Чтобы найти связь между $V_{ik}$, $V_{cd}$, $V_{gh}$ и $V_{ef}$, заметим, что, согласно уравнению Пуассона $TV^{R/C_{V}}=const$, в адиабатических процессах:

(E → B):$T_{H}V_{cd}^{x-1}=T_{X}V_{gh}^{x-1},$

(C → D):$T_{X}V_{ef}^{x-1}=T_{H}V_{ik}^{x-1},$

и, следовательно,

${\frac {V_{cd}}{V_{ik}}}={\frac {V_{gh}}{V_{ef}}}.$

Подставляя это соотношение в уравнения [1] и [2], получаем

${\frac {Q_{B-C}}{Q_{D-E}}}={\frac {T_{H}}{T_{X}}}.$

В то же время мы приходим к результату… что КПД оптимального цикла равен

$\eta _{max}={\frac {T_{H}-T_{X}}{T_{H}}}.$

Литература

• Carnot, S. Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance : [фр.]. — Paris : Gautier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878.
• Карно, Николя Леонар Сади. Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу / Пер. с фр. В. Р. Бурсиана и Ю. А. Круткова.
• Тер Хаар, Д. Элементарная термодинамика = D. Ter Haar, Oxford University, H. Wergeland, Norwegian Institute of Technology, Trondheim. Elements of Thermodynamics. Addison-Wesley Publishing Company / Д. Тер Хаар, Г. Вергеланд. — М. : Мир, 1968.
• Яворский, Б. М. Справочник по физике : для студентов и инженеров вузов / Б. М. Яворский, А. А. Детлаф. — 7-е изд., испр. — М. : Наука, 1979.
• Глаголев, К. В. Физическая термодинамика / К. В. Глаголев, А. Н. Морозов. — М. : МГТУ им Н.Э.Баумана, 2004.
• Яворский, Б. М. Физика : справ. рук-во для поступающих в вузы / Б. М. Яворский, Ю. А. Селезнев. — 5-е изд., перераб. — М. : Физматлит, 2004.

Ссылки

• Карно, С. Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу : [арх. 23 апреля 2018] // Научная сеть. — РОО "Мир Науки и Культуры", 1824. — ISSN 1684-9876.