Теорема Дроз-Фарни

Теорема Дроз-Фарни — это свойство двух перпендикуляров, проходящих через ортоцентр произвольного треугольника. Линия, проходящая через $A_{0},B_{0},C_{0}$ — прямая Дроз-Фарни.

Линия, проходящая через $A_{0},B_{0},C_{0}$ это — Дроз-Фарни прямая (Droz-Farny line)

Формулировка

Пусть $T$ — треугольник с вершинами $A$, $B$ и $C$, и пусть $H$ — его ортоцентр (точка пересечения трех его высот). Пусть $L_{1}$ и $L_{2}$ — любые две взаимно перпендикулярные линии, проходящие через $H$. Пусть $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ — три точки, в которых прямая $L_{1}$ пересекает стороны $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно. Аналогично определяются $A_{2}$, $B_{2}$ и $C_{2}$. Теорема Дроз-Фарни утверждает то, что середины трех отрезков $A_{1}A_{2}$, $B_{1}B_{2}$ и $C_{1}C_{2}$ лежат на одной прямой (коллинеарны).,,

История

Теорема сформулирована Арнольдом Дроз-Фарни в 1899 году.

Вариации и обобщения

Обобщение Горматига

Обобщение теоремы Дроз-Фарни было доказано в 1930 году Рене Горматигом.. Как и выше, пусть $T$ — треугольник с вершинами $A$, $B$ и $C$. Пусть $P$ — любая точка, отличная от $A$, $B$ и $C$, и $l$ — любая прямая, проходящая через $P$. Пусть $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ — точки на $BC$, $CA$ и $AB$ соответственно, взятые таким образом, чтобы прямые $PA_{1}$, $PB_{1}$ и $PC_{1}$ были образами прямых $PA$, $PB$ и $PC$ соответственно при их отражении относительно прямой $l$. Тогда теорема Горматига утверждает то, что точки $A_{1}$, $B_{1}$ и $C_{1}$ коллинеарны. Теорема Дроз-Фарни является частным случаем этой теоремы, когда точка $P$ является ортоцентром треугольника $T$.

Обобщение Дао

Теорема была обобщена Дао Тхань Оайем. Обобщение выглядит следующим образом:

• Первое обобщение: Пусть $P$ точка на плоскости и пусть три параллельных отрезка $AA',BB',CC'$ таковы, что их середины и точка $P$ лежат на одной прямой. Тогда $PA',PB',PC'$ пересекаются соответственно в трех коллинеарных точках $BC,CA,AB$.
• Второе обобщение: пусть $S$ — коника, а $P$ — точка плоскости. Проведем три прямые d_a, d_b, d_c через точку $P$, такие, что они пересекаются на конике соответственно A в точке A'; B в точке B'; C в точке C'. Пусть $D$ — точка на поляре точки $P$ относительно (S) или D лежит на конике (S). Пусть DA' ∩ BC =A₀; DB' ∩ AC = B₀; DC' ∩ AB= C₀. Тогда A₀, B₀, C₀ лежат на одной прямой.

Второе обобщение Дао для теоремы Дроз-Фарни

Ссылки

• Droz-Farny line theorem (Теорема_Дроз-Фарни) (англ. яз.)// https://en.wiki.x.io/w/index.php?title=Droz-Farny_line_theorem&action=edit