Теорема Гильберта — Шмидта

Теоре́ма Ги́льберта — Шми́дта распространяет на вполне непрерывные симметричные операторы в гильбертовом пространстве известный факт о приведении матрицы самосопряженного оператора в конечномерном евклидовом пространстве к диагональной форме в некотором ортонормированном базисе.

Формулировка теоремы

Для любого вполне непрерывного симметричного оператора $A$ в гильбертовом пространстве $H$ существует ортонормированная система $\{x_{i}\}$ собственных элементов, соответствующих собственным значениям $\{\lambda _{n}\}$ оператора $A$, такая, что для любого $x\in H$ имеет место представление

$x=\sum _{k}\xi _{k}x_{k}+x_{0},\ x_{0}\in \operatorname {Ker} \,A,\ Ax=\sum _{k}\lambda _{k}\xi _{k}x_{k},$

причем суммирование может быть как конечным, так и бесконечным рядом в зависимости от числа собственных элементов оператора $A$. Если их бесконечное число, то $\lim _{n\rightarrow \infty }\lambda _{n}=0$.

Теорема Гильберта-Шмидта для интегральных операторов

Теорема Гильберта-Шмидта может быть использована для решения неоднородного интегрального уравнения с непрерывным (а также слабо полярным) эрмитовым ядром.

Для интегрального оператора $(Kg)(x)=\int \limits _{G}\!K(x,y)g(y)\,dy$, теорема переформулируется так: если функция $f(x)$ истокообразно представима через эрмитово непрерывное ядро $K(x,y)$ (т.е. $\exists g(x)\in L^{2}(G)$, такая, что $f(x)=(Kg)(x)$), то её ряд Фурье по собственным функциям ядра $K(x,y)$ сходится абсолютно и равномерно на $G$ к этой функции:

$f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }(f,\varphi _{k})\varphi _{k}(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(g,\varphi _{k})}{\lambda _{k}}}\varphi _{k}(x),$

где $\varphi _{k}$ и есть собственные функции ядра, соответствующие собственным значениям $\lambda _{k}$.

Литература

• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 7-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — С. 263-266. — 572 с. — ISBN 5-9221-0266-4.

См. также

Оператор Гильберта — Шмидта