Теорема Волда

Теорема Волда — утверждение математической статистики, согласно которому каждый слабо стационарный временной ряд можно представить в виде скользящего среднего бесконечного порядка $\mathrm {MA} (\infty )$. Такое представление называют представлением скользящим средним для временных рядов.

Установлена Херманом Волдом.

Формально:

$Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{t-j}+\eta _{t}$,

где:

• $Y_{t}$ — рассматриваемый временной ряд,
• $\varepsilon _{t}$ — белый шум на входе линейного фильтра $\{b_{j}\}$; также применяется термин «инновация» (англ. innovation)
• $b_{j}$ — последовательность коэффициентов скользящего среднего (параметров или весов)
• $\eta _{t}$ — детерминированная компонента; равна нулю, если у $Y_{t}$ нет трендов.

Коэффициенты $b_{j}$ удовлетворяют следующим условиям:

1. $b_{0}=1$
2. ряд $b_{j}$ сходится абсолютно: $\sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|<\infty$
3. отсутствуют члены с $j<0$
4. постоянны (не зависят от $t$)

Литература

• Anderson, T. W. (1971) The Statistical Analysis of Time Series. Wiley.
• Wold, H. (1954) A Study in the Analysis of Stationary Time Series, Second revised edition, with an Appendix on «Recent Developments in Time Series Analysis» by Peter Whittle. Almqvist and Wiksell Book Co., Uppsala.
• Scargle, J.D. (1981) Studies in astronomical time series analysis. I — Modeling random processes in the time domain,,' 1981, Astrophysical Journal Supplement Series, 45, pp. 1-71.