Тензор Дарбу

Компоненты те́нзора Дарбу́ $\Theta$ двумерной поверхности F² с ненулевой гауссовой кривизной K в евклидовом пространстве E³ вычисляются по формулам:

$\Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_{jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,$

где $b_{ij}$ — коэффициенты второй квадратичной формы, $K\neq 0$ — гауссова кривизна, а $\nabla _{m}b_{ij}$ и $\nabla _{m}K$ — их ковариантные производные.

С тензором Дарбу связана кубическая дифференциальная форма

$\Theta _{ijm}du^{i}du^{j}du^{m}=\nabla _{m}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m}-{\frac {3\nabla _{m}K}{4K}}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m}.$

Эта форма, отнесенная к кривой на поверхности, называется инвариантом Дарбу.

Кривая, в каждой точке которой инвариант Дарбу равен нулю, называется линией Дарбу.

Обобщенный тензор Дарбу гиперповерхности — это трижды ковариантный симметрический тензор третьего порядка, определенный на n-мерной гиперповерхности Fⁿ с ненулевой гауссовой кривизной K в евклидовом пространстве Eⁿ⁺¹. Компоненты обобщенного тензора Дарбу $\Theta _{(n)}$ гиперповерхности вычисляются по формулам:

$\Theta _{(n)ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_{jm}\nabla _{i}K}{(n+2)K}},\quad i,j,m=1,2,...,n.$

Гиперповерхность Fⁿ в евклидовом пространстве Eⁿ⁺¹, на которой определен и тождественно равен нулю обобщенный тензор Дарбу, называется обобщенной гиперповерхностью Дарбу в Eⁿ⁺¹.