Сходимость по мере

Сходи́мость по ме́ре (по вероя́тности) в функциональном анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах — это вид сходимости измеримых функций (случайных величин), заданных на пространстве с мерой (вероятностном пространстве).

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — пространство с мерой. Пусть $f_{n},f:X\to \mathbb {R} ^{m},\;n=1,2,\ldots$ — измеримые функции на этом пространстве. Говорят, что последовательность функций $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ сходится по мере к функции $f$, если

$\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }\mu (\{x\in X\mid \|f_{n}(x)-f(x)\|>\varepsilon \})=0$.

Обозначение: $f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f$.

В терминах теории вероятностей, если дано вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ с определёнными на нём случайными величинами $X_{n},X,\;n=1,2,\ldots$, то говорят, что $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ сходится по вероятности к $X$, если

$\forall \varepsilon >0,\;\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} (|X_{n}-X|>\varepsilon )=0$.

Обозначение: $X_{n}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}X$.

Замечание

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений (случайных элементов), принимающих значения в произвольном метрическом пространстве.

Свойства сходимости по мере

• Теорема (Рисс Ф.): Если последовательность функций $f_{n}$ сходится по мере к $f$, то у неё существует подпоследовательность $f_{n_{k}}$, сходящаяся к $f$ $\mu$-почти всюду.

• Теорема (критерий сходимости по мере): Если мера конечна, то последовательность функций $f_{n}$ сходится по мере к $f$ тогда и только тогда, когда для любой подпоследовательности последовательности $f_{n}$ существует подпоследовательность, которая сходится к $f$ почти всюду.

• Если последовательность функций $f_{n}$ сходится по мере к $f$, и $\forall n\in \mathbb {N} ,\;|f_{n}|\leqslant g$, где $g\in L^{p},\;p\geqslant 1$, то $f_{n},f\in L^{p}$, и $f_{n}$ сходится к $f$ в $L^{p}$.

• Если в пространстве с конечной мерой последовательность функций $f_{n}$ сходится $\mu$-почти всюду к $f$, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность функций $f_{n}$ сходится в $L^{p}$ к $f$, то она сходится и по мере. Обратное, вообще говоря, неверно.

• Если последовательность случайных величин $X_{n}$ сходится по вероятности к $X$, то она сходится к $X$ и по распределению.
• Если последовательность случайных величин $X_{n}$ сходится по вероятности к $X$, то для любой непрерывной функции $f(x)$ верно, что $f(X_{n})\to f(X),n\to \infty$. Это утверждение верно для любой непрерывной функции многих переменных, в частности $X_{n}+Y_{n}\to X+Y,n\to \infty$