Сходимость по мере

Сходимость по ме́ре — вид сходимости измеримых функций, заданных на пространстве с мерой: последовательность почти всюду конечных измеримых вещественных функций $(f_{i})_{i=1}^{\infty }$, заданных на пространстве с мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ сходится к $f\colon X\to \mathbb {R}$ по мере $\mu$, если для любого $\varepsilon >0$ множество различающихся более, чем на $\varepsilon$ значений между функциями последовательности от $f$, стремится к мере нуль:

$\forall (\varepsilon >0)\lim \limits _{n\to \infty }\mu {\Big \{}x\in X\;{\Big |}\;\varepsilon \leqslant |f_{n}(x)-f(x)|{\Big \}}=0$.

Сходимость по мере $\mu$ на измеримом множестве $E\in {\mathcal {F}}$ — соответствующее свойство на $E$:

$\forall (\varepsilon >0)\lim \limits _{n\to \infty }\mu {\Big \{}x\in E\;{\Big |}\;\varepsilon \leqslant |f_{n}(x)-f(x)|{\Big \}}=0$.

Локальная сходимость $(f_{i})_{i=1}^{\infty }$ по мере $\mu$ — сходимость на всех $E\in {\mathcal {F}}$; иногда в этом контексте о сходимости на $X$ говорят как о глобальной сходимости по мере. В случае конечной меры локальная и глобальная сходимость эквивалентны.

Определение сходимости по мере (по вероятности) может быть обобщено для отображений, принимающих значения в произвольных измеримых метрических пространствах; в частности, все основные свойства сходимости по мере сохраняются для сепарабельных банаховых пространств.

Стандартные обозначения (глобальной) сходимости: $f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f$, $f_{n}\longrightarrow f(\mu )$, $f=\mu -\lim f_{n}$.

Свойства

Последовательность $(f_{i})_{i=1}^{\infty }$ называется фундаментальной по мере $\mu$, если:

$\forall (\varepsilon >0)\lim \limits _{n\to \infty }\sup \limits _{m\geqslant 1}\mu {\Big \{}x\in X\;{\Big |}\;\varepsilon \leqslant |f_{n+m}(x)-f_{n}(x)|{\Big \}}=0$;

сходимость по мере и фундаментальность по мере эквивалентны.

Если последовательность сходится по мере к $f$, то у неё существует подпоследовательность, сходящаяся почти всюду к $f$ (Рис). Если $\mu X$ конечна, то сходимость почти всюду к почти всюду конечной функции эквивалентна сходимости по мере (критерий сходимости по мере). Если же $\mu X=\infty$, то даже сходимость всюду, вообще говоря, не влечёт сходимости по мере.

Сходимость в среднем порядка $p$ (то есть сходимость в $L^{p}$, при $p\geqslant 1$) влечёт сходимость по мере к той же предельной функции; обратное, вообще говоря, неверно.

Посредством введения семейства псевдометрик $\rho _{E}$ над $E\in {\mathcal {F}}$:

$\rho _{E}(f_{1},f_{2})=\int \limits _{E}\min\{|f_{1}-f_{2}|,1\}\,d\mu$

строится топологическое пространство, в котором локальная сходимость по мере эквивалентна сходимости в индуцированной этим семейством псевдометрик топологии.

Сходимость по вероятности

Поскольку вероятностное пространство $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — пространство с (вероятностной) мерой $\mathbb {P}$, то сходимость по мере естественным образом переносится на теорию вероятностей с сохранением всех общих свойств: последовательность случайных величин $(X_{i})_{i=1}^{\infty }$ сходится по вероятности $\mathbb {P}$ к случайной величине $X$, если:

$\forall (\varepsilon >0)\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} (|X_{n}-X|>\varepsilon )=0$.

Стандартное обозначение: $X_{n}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}X$.

Если последовательность случайных величин $X_{n}$ сходится по вероятности к $X$, то она сходится к $X$ и по распределению. Если последовательность случайных величин $X_{n}$ сходится по вероятности к $X$, то для любой непрерывной функции $f(x)$ верно, что $f(X_{n})\to f(X),n\to \infty$. Это утверждение верно для любой непрерывной функции многих переменных, в частности $X_{n}+Y_{n}\to X+Y,n\to \infty$. Теорема Слуцкого позволяет складывать и умножать сходящиеся по вероятности и по распределению функции.

Топологию сходимости по вероятности реализует метрика Цюй Фаня (Цюй Фань, 1962):

${\mathfrak {K}}(X,Y)=\inf {\big \{}\varepsilon \mid \mathbb {P} (d(X,Y)<\varepsilon )<\varepsilon {\big \}}$,

являющаяся минимальной по отношению к метрике Леви — Прохорова (Штрассен, 1965).

Литература

• В. В. Булдыгин. Сходимость по мере // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — С. 719. — 910 с. — ISBN 5-85270-265-X.
• Халмош П. Теория меры. — Факториал-пресс, 2003. — 256 с. — ISBN 5-88688-065-8.
• Данфорд Н., Шварц Дж.. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. — Т. 1. Общая теория. — 856 с.
• В. В. Петров. Сходимость по вероятности // Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — С. 718—719. — 910 с. — ISBN 5-85270-265-X.
• Биллингсли П.. Сходимость вероятностых мер. — М.: Наука, 1977. — 352 с.
• Золотарёв В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. — М.: Наука, 1986. — 416 с.