Суммы Вейля

Суммы Вейля — общее название тригонометрических сумм специального вида.

Определение

Суммами Вейля называются суммы вида

$\displaystyle \sum _{a<n\leqslant b}e^{2\pi if(n)}$,

где $n\in \mathbb {Z}$, а функция

$f(x)=\alpha _{k}x^{k}+\alpha _{k-1}x^{k-1}+\ldots +\alpha _{1}x+\alpha _{0}\in \mathbb {R} [x]$

есть многочлен степени $k$ с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.

Рациональные суммы Вейля

Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена $f(x)$ — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю $m$) называются суммы Вейля с функцией $f(x)={\frac {P_{k}(x)}{m}}$:

$\displaystyle \sum _{a<n\leqslant b}e^{2\pi i{\frac {P_{k}(n)}{m}}}$,

где $m>1$ — некоторое фиксированное целое число, $n\in \mathbb {Z}$, а

$P_{k}(x)=a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}\in \mathbb {Z} [x]$

есть многочлен степени $k$ с целыми коэффициентами.

Примеры рациональных сумм Вейля

• Если $f(x)=ax$, то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
• Если $m=p$ — простое число, то суммы Вейля с многочленом $f(x)=ax^{k}$ $(k>1)$ называются суммами Гаусса порядка $k$, а при $k=2$ — суммами Гаусса.
• Если $m=p$ — простое число, то для каждого $n$, не кратного $p$, в поле вычетов $\mathbb {Z} _{p}$ всегда существует число $n^{*}$, обратное к $n$:

$n^{*}n\equiv 1\mod p$, и при этом $n^{*}\equiv n^{p-2}\mod p$.

Таким образом, рациональные суммы Вейля с многочленом $P_{p-1}(n)=an^{p-1}+bn$ могут быть записаны в виде

$\displaystyle {\sum _{a<n\leqslant b}}'e^{2\pi i{\frac {an^{*}+bn}{p}}}$,

(штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем $n$, не кратным $p$) и называются суммами Клостермана.

Оценки сумм Вейля

Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.

См. также

• Теорема Вейля о равномерном распределении

Литература

• Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
• И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.