Степень трансцендентности

Степень трансцендентности — максимальное число алгебраически независимых элементов в расширении поля. Степень трансцендентности даёт возможность измерения величины расширения.

Определение

Пусть $L/K$ — расширение поля $K$ до поля $L.$ Рассмотрим всевозможные алгебраически независимые подмножества поля $L$ над полем $K.$ Степень трансцендентности данного расширения определяется как наибольшая мощность среди таких подмножеств.

Обычно обозначается $\mathrm {trdeg} _{K}L$ или $\mathrm {trdeg} (L/K).$

Замечания

Если алгебраически независимых элементов в расширенном поле $L$ нет, то множество их пусто, и степень трансцендентности равна нулю. Таким образом, нулевая степень трансцендентности означает, что данное расширение является алгебраическим. Если же степень трансцендентности не нулевая, то в $L$ существуют «трансцендентные» (не алгебраические по отношению к исходному полю) элементы.

Связанные понятия

Подмножество $S$ из $L$ называется базисом трансцендентности расширения $L/K,$ если:

• элементы $S$ алгебраически независимы над $K;$
• базис полон, то есть $L$ является алгебраическим расширением поля $K(S),$ полученного присоединением элементов $S$ к полю $K.$

Можно показать, что для любого заданного расширения поля базисы трансцендентности существуют (в доказательстве используется аксиома выбора), причём все они имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности. Базисы трансцендентности — полезный инструмент для доказательства различных теорем существования про гомоморфизмы полей.

Расширение поля $L/K$ называется чисто трансцендентным, если в $L$ существует подмножество $S$ алгебраически независимых над $K$ элементов такое, что $K(S)=L.$

Примеры

• Для расширения поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$ до поля вещественных чисел $\mathbb {R}$ степень трансцендентности есть континуум. Это следует из того, что множество алгебраических чисел счётно.
• Поле рациональных функций $n$ переменных $K(x_{1}\dots x_{n})$ над полем $K$ является чисто трансцендентным расширением $K.$ Его степень трансцендентности равна $n,$ а в качестве базиса трансцендентности можно взять $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}.$
• Поле $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\pi )$ является расширением поля $\mathbb {Q}$ со степенью трансцендентности 1, потому что ${\sqrt {2}}$ является алгебраическим числом, а $\pi$ — трансцендентным.
• Поле $\mathbb {Q} (\pi ,e)$ также является расширением поля $\mathbb {Q} ,$ его степень трансцендентности не определена (либо 1, либо 2), поскольку неизвестно, являются ли константы $\pi$ и $e$ алгебраически независимыми.

Свойства

Если мы имеет двукратное расширение поля: $M\supset L\supset K,$ то степень трансцендентности $M/K$ равна (теоретико-множественной) сумме степеней трансцендентности $L/K$ и $M/L.$ Базис трансцендентности $M/K$ получается объединением базисов трансцендентности для $L/K$ и $M/L.$

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М: Иностранная литература, 1963.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1967.

Ссылки

• Кузьмин Л. В. Трансцендентное расширение