Конечное расширение

Коне́чное расшире́ние — расширение поля $E\supset K$, такое, что $E$ конечномерно над $K$ как векторное пространство. Размерность векторного пространства $E$ над $K$ называется степенью расширения и обозначается $[E:K]$.

Свойства конечных расширений

Конечное расширение всегда алгебраично. В самом деле пусть $[E:K]=n$, так как для любого элемента $\alpha \in E$ набор из $n+1$ элементов $1,\alpha ,\alpha ^{2},...\alpha ^{n}$ не может быть линейно независимым, значит существует многочлен над $K$ степени не выше $n$, такой, что $\alpha$ является его корнем.

Простое алгебраическое расширение $E=K(\alpha )$ является конечным. Если неприводимый многочлен $\alpha$ над $K$ имеет степень $n$, то $[E:K]=n$.

В башне полей $F\supset E\supset K$, поле $F$ конечно над $K$ тогда и только тогда, когда $F$ конечно над $E$ и $E$ конечно над $K$. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если $e_{1},...e_{n}$ — базис $E$ над $K$ и $f_{1},...f_{m}$ — базис $F$ над $E$ то $f_{1}e_{1},f_{1}e_{2},...f_{1}e_{n},f_{2}e_{1},...f_{m}e_{1},...f_{m}e_{n}$ — базис $F$ над $K$, отсюда $[F:E][E:K]=[F:K]$.

Конечное расширение E является конечно порождённым. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса $E=K(e_{1},...e_{n})$. Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, $K(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})...(\alpha _{n})$. Элементы $\alpha _{i}$ будучи алгебраическими над $K$ остаются таковыми и над бо́льшим полем $K(\alpha _{1})...(\alpha _{i-1})$. Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.

Если $E\supset K$ конечно, то для любого расширения $F\supset K$ то, (если $F$ и $E$ содержатся в каком-нибудь поле) композит полей $EF$ является конечным расширением $F$).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 — М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра — М:, Мир, 1967