Стационарное распределение

Стациона́рное распределе́ние цепи Маркова — это такое распределение вероятности, которое не меняется с течением времени.

Определение

Пусть $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ — однородная цепь Маркова с дискретным временем, счётным пространством состояний $\{1,2,\ldots \}$, и матрицей переходных вероятностей $P=(p_{ij}),\;i,j=1,2,\ldots$. Тогда дискретное распределение $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots )$ называется стациона́рным (инвариа́нтным), если

$\mathbf {q} P=\mathbf {q}$.

Замечание

Если $\mathbf {q}$ — начальное распределение цепи $\{X_{n}\}$, то есть

$\mathbb {P} (X_{0}=i)=q_{i},\quad i\in \mathbb {N}$,

то и распределение всех остальных членов $X_{n},n\geq 1$ также совпадает с $\mathbf {q}$.

Основная теорема о стационарных распределениях

Пусть $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ — цепь Маркова с дискретным пространством состояний. Тогда у этой цепи существует единственное стационарное распределение тогда и только тогда, когда в множестве ее состояний найдется ровно один положительно возвратный класс.

Литература

• Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.

См. также

• Эргодическое распределение.