Срезанный узел

Срезанный узел — это тип математического узла. В теории узлов «узел» означает окружность, вложенную в 3-сферу

$S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |=1\}$,

а 3-сферу можно рассматривать как границу четырёхмерного шара

$B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |\leq 1\}.$

Узел $K\subset S^{3}$ является срезанным, если он является границей диска D, должным образом вложенного в 4-мерный шар.

Что означает «должным образом вложенного», зависит от контекста и имеет различное понимание для различных типов срезанных узлов. Если D является гладким вложением в B⁴, то говорят, что K является гладко срезанным узлом. Если K является лишь локально плоским (что слабее), то говорят что K является топологически срезанным узлом.

Любой ленточный узел является гладким срезанным узлом. Старый вопрос Фокса (Ralph Fox) заключается в том, является ли любой гладкий срезанный узел ленточным.

Сигнатура срезанного узла равна нулю.

Многочлен Александера срезанного узла распадается на множители $f(t)f(t^{-1})$, где $f(t)$ — некоторый многочлен Лорана с целыми коэффициентами. Это известно как условие Фокса-Милнора.

Ниже следует список всех срезанных узлов с 10 и менее пересечениями. Список составлен из Атласа Узлов: 6₁, $8_{8}$, $8_{9}$, $8_{20}$, $9_{27}$, $9_{41}$, $9_{46}$, $10_{3}$, $10_{22}$, $10_{35}$, $10_{42}$, $10_{48}$, $10_{75}$, $10_{87}$, $10_{99}$, $10_{123}$, $10_{129}$, $10_{137}$, $10_{140}$, $10_{153}$ и $10_{155}$.

См. также

• Род среза
• Срезанное зацепление

Литература

• Robert E. Gompf, Martin Scharlemann, Abigail Thompson. Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures // Geometry & Topology. — 2010. — Т. 14, вып. 4. — doi:10.2140/gt.2010.14.2305.
• Markus Banagl, Denis Vogel. The Mathematics of Knots: Theory and Application. — Springer, 2010. — Т. 1. — (Contributions in Mathematical and Computational Sciences). — ISBN 9783642156373.
• W. B. Raymond Lickorish. An Introduction to Knot Theory. — Springer, 1997. — Т. 175. — ISBN 9780387982540.