Среднее квадратическое

Среднее квадратическое (квадратичное) — число $s$, равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$:

$s={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}{n}}}$

Среднее квадратическое — частный случай среднего степенного и потому подчиняется неравенству о средних. В частности, для любых чисел оно не меньше среднего арифметического:

${\frac {a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}}{n}}\leqslant {\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}}{n}}}$

Среднее квадратическое находит широкое применение во многих науках. В частности, через него определяется основное понятие теории вероятностей и математической статистики — дисперсия (квадратный корень из которой называется среднеквадратическим отклонением). Также тесно связан с этим понятием метод наименьших квадратов, имеющий общенаучное значение.

Свойства

• Среднее квадратическое набора неотрицательных чисел лежит между минимальным и максимальным числами из этого набора.

Параметр RMS

В разных технических приложениях вводится параметр RMS (англ. root mean square). Для дискретной величины $a$ он вычисляется по вышеприведённой формуле $s$, а для непрерывной или считающейся непрерывной — как

$\mathrm {RMS} =\left({\frac {1}{X}}\displaystyle \int _{0}^{X}a^{2}(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x\right)^{1/2}$,

где $a$ — исследуемая величина, изменяющаяся в зависимости от другой величины $x$ при пробегании последней значений от 0 до $X$.

Так, для измерения напряжения переменного тока простые измерительные приборы преобразуют сигнал $I(t)$ в постоянный ток $I_{\text{eff}}$ эквивалентной величины — среднеквадратичного значения RMS. То есть в данном случае роль $x$ играет время $t$, роль $a$ — мгновенное значение тока $I$, роль $X$ — достаточно большой интервал времени обработки сигнала. Сигнал фильтруется в среднее выпрямленное значение с поправочным коэффициентом. Как правило, при этом значение коэффициента отвечает именно синусоидальному сигналу. Однако, есть приборы, способные учесть произвольную форму сигнала; тогда даётся маркировка «True RMS» — истинное (англ. true) среднеквадратичное значение.

Ещё один пример — использование RMS как показателя шероховатости поверхности. Тогда роль $x$ может играть декартова координата вдоль исследуемой поверхности в пределах $0...l$, а роль $a$ — отклонение высоты точки на поверхности от номинального положения (при абсолютной гладкости всюду $a=0$). Зависимость $a(x)$ может быть получена, скажем, с помощью атомно-силового микроскопа: вначале записывается профиль рельефа $z(x)$, затем находится среднее значение $\langle z\rangle =l^{-1}\displaystyle \int z(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x$ и далее $a(x)=z(x)-\langle z\rangle$, после чего рассчитывается RMS.