Соотношение Майера

Соотношение Майера (или уравнение Майера, или соотношение Роберта Майера) — это уравнение, связывающее теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении с его теплоёмкостью при постоянном объёме. Для газа, взятого в количестве одного моля, соотношение Майера имеет вид:

$C_{P,m}-C_{V,m}=R,\qquad (M)$

где $R$ — универсальная газовая постоянная, $C_{P,m}$ — молярная теплоёмкость при постоянном давлении, $C_{V,m}$ — молярная теплоёмкость при постоянном объёме.

Это соотношение впервые было обосновано в 1842 году немецким исследователем Юлиусом Робертом Майером, а более подробно и доказательно — в его научной публикации 1845 года «Органическое движение в его связи с обменом веществ» (нем. Die organische Bewegung im Zusammenhang mit dem Stoffwechsel) (для одного кубического сантиметра воздуха, для которого теплоёмкость при постоянном давлении и отношение теплоёмкостей $C_{P}/C_{V}$ были достаточно хорошо известны).

Теплоёмкость и молярная теплоёмкость

Количество теплоты $\delta Q$, которое необходимо сообщить телу для изменения его температуры на малую величину $\mathrm {d} T,$ определяется теплоемкостью тела C:

$C={\frac {\delta Q}{\mathrm {d} T}}.$

Теплоёмкость тела зависит от содержащегося в нём количества вещества Z (например, выраженного в молях), поэтому само вещество характеризуют молярной теплоёмкостью $C_{m}$, отнесённой к одному молю вещества (нижний индекс m далее означает величины, отнесённые к одному молю):

$C_{m}={\frac {C}{Z}}.$

Элементарный вывод соотношения Майера

Молярная теплоёмкость не является однозначной характеристикой вещества, так как согласно первому началу термодинамики переданное телу количество теплоты расходуется не только на изменение внутренней энергии тела dU (приводящее к изменению температуры), но и на работу $\delta A$, совершённую телом при его расширении:

$\delta Q=\mathrm {d} U+\delta A,\qquad (1)$

В частном случае изохорного процесса (при неизменном объёме тела) работа равна нулю, то есть

$\delta Q_{V}=\mathrm {d} U,$

или, выражая количество теплоты через теплоёмкость (при постоянном объёме) и изменение температуры:

$\mathrm {d} U=C_{V}\mathrm {d} T.\qquad (2)$

В то же время при изобарном процессе (при постоянном давлении) количество теплоты, необходимое, чтобы повысить температуру на такую же величину dT

$\delta Q_{P}=C_{P}\mathrm {d} T,\qquad (3)$

превышает в соответствии с уравнением (1) количество теплоты при изохорном процессе на величину совершаемой расширяющейся газом работы:

$\delta Q_{P}=\mathrm {d} U+\delta A=\mathrm {d} U+P\mathrm {d} V=\mathrm {d} U+\mathrm {d} (PV).\qquad (4)$

В соответствии с законом Джоуля, внутренняя энергия заданного количества идеального газа зависит только от его температуры, поэтому изменение его внутренней энергии при любом процессе выражается через изменение его температуры согласно формуле (2). Следовательно, для одного моля идеального газа соотношение (4) с учётом (2) и (3) имеет вид: $C_{P,m}\mathrm {d} T=C_{V,m}\mathrm {d} T+\mathrm {d} (PV_{m})$. Далее из уравнения состояния для одного моля идеального газа $PV_{m}=RT$ вычисляется работа $\mathrm {d} (PV_{m})=R\mathrm {d} T$ и получается приведённое в преамбуле соотношение Майера (М). Вывод следует книге Д. В. Сивухина.

Следствия из соотношения Майера

Основная статья: Механический эквивалент теплоты

Уравнение Майера связывает разность теплоёмкостей, которые меряются (во всяком случае мерились во времена Майера) калориметрическим способом и результат измерения которых выражается через единицы количества теплоты (калории), с механической работой, результат которой может быть выражен просто в виде поднятия поршня с грузом на определенную высоту при изобарическом расширении газа. Майер использовал это соотношение, чтобы определить механический эквивалент теплоты, то есть соотношение между единицами измерения количества теплоты и единицами механической работы

В силу соотношения Майера теплоёмкость газа при постоянном давлении всегда больше теплоёмкости при постоянном объеме: $C_{P}>C_{V}$. Последнее термодинамическое неравенство справедливо для любого тела, не обязательно для идеального газа, но его истинность в общем случае доказывается другим способом.

Основная статья: Показатель адиабаты

Отношение теплоёмкостей в процессах с постоянным давлением и постоянным объемом: $\gamma ={C_{P}}/{C_{V}},$ носит название «показатель адиабаты» и играет важную роль в термодинамике. Из уравнения Майера следует, что:

$C_{V,m}={\frac {R}{\gamma -1}},\qquad \qquad C_{P,m}={\frac {\gamma R}{\gamma -1}}$

Строгий вывод соотношения Майера

Основная статья: Соотношения Максвелла (термодинамика)

Элементарный вывод соотношения Майера помимо уравнения состояния идеального газа в явном виде использует закон Джоуля (утверждение о том, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от его объёма). При более строгом подходе закон Джоуля оказывается следствием уравнения состояния идеального газа, что может быть продемонстрировано, например, с помощью соотношений Максвелла.

Литература

• Зубарев, Д. Н. Майера уравнение // Физическая энциклопедия / Ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — С. 27.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — 616 с. — («Теоретическая физика», том V). — ISBN 5-9221-0054-8.
• Майер, Р. Органическое движение в его связи с обменом веществ // [www.libgen.io/book/index.php?md5=B12DDCDDC9F91A298110152A42E70326 Закон сохранения и превращения энергии. Четыре исследования 1841 — 1851] / Ред. А. А. Максимов. — Л.: ГТТИ, 1933. — С. 89—222. (недоступная ссылка)
• Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: КноРус, 2012. — Т. 1. Механика. Молекулярная физика и термодинамика. — 528 с. — ISBN 9785406025888.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 3-е, исправленное и дополненное. — М.: Наука, 1990. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — 592 с. — ISBN 5-02-014187-9.
• Энгельс, Фридрих. Диалектика природы. — Рипол Классик, 2013. — 354 с. — ISBN 5458505468, 9785458505468.
• Mayer, J. R. Remarks on the Forces of Inorganic Nature // Philosophical Magazine : журнал. — 1862. — Т. 24, вып. 162. — С. 371—377. — doi:10.1080/14786446208643372.