Скалярное ранжирование

Скалярное ранжирование — подход к решению многокритериальных задач принятия решений, когда множество показателей качества (критериев оптимальности) сводятся в один с помощью функции скаляризации — целевой функции задачи принятия решения.

Виды функций скаляризации

Аддитивная (взвешенная сумма)

Аддитивная

$F_{1}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}f_{i}({\vec {x}})},$

где $r$ — количество частных критериев; $w_{i}$ — коэффициент важности (вес) частного критерия; $f_{i}(x)$ — функция полезности частного критерия.

Обычно веса нормируют: $w_{i}\in [0,1].$

Мультипликативная (взвешенное произведение)

Мультипликативная

$F_{2}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\prod \limits _{i=1}^{r}{\left[{f_{i}({\vec {x}})}\right]}^{w_{i}}.$

Каноническая аддитивно-мультипликативная

$F_{3}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\beta \cdot \sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}f_{i}({\vec {x}})}+(1-\beta )\cdot \prod \limits _{i=1}^{r}{[f_{i}({\vec {x}})]}^{w_{i}}.$

Каноническая аддитивно-мультипликативная

Модификация канонической аддитивно-мультипликативной

где $\beta$ — адаптационный параметр $0\leq \beta \leq 1.$

• Модификация канонической аддитивно-мультипликативной

$F_{4}({\vec {f}}({\vec {x}}))=a\cdot \sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}f_{i}({\vec {x}})}+b\cdot \prod \limits _{i=1}^{r}{[f_{i}^{}({\vec {x}})]\,^{w_{i}}+\;}c\cdot \prod \limits _{i=1}^{r}{[f_{i}^{}({\vec {x}})]\,^{1/w_{i}}},$

где $a,\;b,\;c$ — дополнительные параметры, $a+b+c=1;w_{i}\neq 0,i={\overline {1,r}}.$

Аддитивно-мультипликативная, построенная на основе ряда Винера

На основе ряда Винера

Модификация функции на основе ряда Винера

(сложность определяется степенью полинома)

$F_{5}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}\cdot f_{i}({\vec {x}})}+\sum \limits _{i=1}^{r}{\sum \limits _{j=i}^{r}{}w_{ij}\cdot f_{i}({\vec {x}})\cdot f_{j}({\vec {x}})}+...,$

где $w_{ij}$ — весовые коэффициенты произведения частных критериев $f_{i}({\vec {x}})\cdot f_{j}({\vec {x}}),i,j={\overline {1,\;{\rm {r}}}}.$

• Модификация аддитивно-мультипликативной, построенной на основе ряда Винера

(добавлены члены с дробными степенями и отсутствуют произведения несовпадающих частных критериев)

$F_{6}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}f_{i}({\vec {x}})}+\sum \limits _{j=2}^{u}{\sum \limits _{i=1}^{r}{\{w_{i+r(2j-3)}[f_{i}^{}({\vec {x}})]^{g}}}+w_{i+r(2j-2)}[f_{i}^{}({\vec {x}})]^{1/g}\},$

где $u$ — степень базового полинома; $g>1$ — дополнительный параметр, определяющий характер зависимости.

Показательная

Показательная

$F_{7}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\sum \limits _{i=1}^{r}{(1-e^{-w'_{i}f_{i}({\vec {x}})})},$

где $w'_{i}=1-w_{i},i={\overline {1,r}}$ — весовые коэффициенты частных критериев, $\sum \limits _{i=1}^{r}{w'_{i}}=1.$

Энтропийная

Энтропийная

$F_{8}({\vec {f}}({\vec {x}}))=\sum \limits _{i=1}^{r}{w_{i}}\cdot f_{i}({\vec {x}})^{w_{i}}.$

См. также

• Многокритериальная оптимизация
• Оптимизация (математика)
• Критерий оптимальности