Система корней

Эта статья — о системах корней в математике. О корневой системе растений см. корень.

Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.

Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина, использующиеся при классификации систем корней, встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.

Определение

Пусть $V$ — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением, обозначаемым $(\cdot ,\;\cdot )$. Система корней в $V$ — это конечное множество $\Phi$ ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

Целостное условие для $\scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }$ заставляет $\scriptstyle \beta$ лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для $\scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }$ сводит возможные углы между $\scriptstyle \alpha$ и $\scriptstyle \beta$ не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.

1. $V$ является линейной оболочкой системы корней.
2. Если два корня $\alpha \in \Phi$, $\beta \in \Phi$ являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо $\beta =-\alpha .$
3. Для каждого корня $\alpha \in \Phi$ множество $\Phi$ замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной $\alpha .$ То есть для любых двух корней $\alpha$ и $\beta$ множество $\Phi$ содержит отражение $\beta$

   $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\alpha \in \Phi .$

4. (Целостное условие). Если $\alpha$ и $\beta$ — корни в $\Phi ,$ то проекция $\beta$ на прямую, проходящую через $\alpha ,$ есть полуцелое, кратное $\alpha .$ То есть

   $\langle \beta ,\;\alpha \rangle =2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\in \mathbb {Z} .$

Замечания

• С учётом свойства 3 целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между $\beta$ и его отражением $\sigma _{\alpha }(\beta )$ равна корню $\alpha$, умноженному на некоторое целое число.
• Оператор

  $\langle \cdot ,\;\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z}$,

определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Размерность $V$ называют рангом системы корней.

Классификация систем корней по диаграммам Дынкина

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2

Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов $\{\alpha ,\;-\alpha \}.$ Эта система называется $A_{1}.$

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта $\sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha ,$ где $n=0,\;1,\;2,\;3.$

Система корней ранга 2

Система корней $A_{1}\times A_{1}$	Система корней $A_{2}$
Система корней $B_{2}$	Система корней $G_{2}$

См. также

• E8 (математика)

Ссылки

• Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2, № 4(20). — С. 59–127.
• Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60), № 3. — С. 347–352.
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
• Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.