Сингулярные гомологии

Сингулярные гомологии — теория гомологий, в которой инвариантность и функториальность сразу становятся очевидными, но основное определение требует работы с бесконечномерными пространствами.

Построение

Пусть $X$ — любое топологическое пространство.

Сингулярный симплекс размерности $k$ — это пара $(\Delta ^{k},f)$ где $\Delta ^{k}$ — это стандартный симплекс $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ , а $f$ — его непрерывное отображение в $X$ ; $f:\Delta ^{k}\to X$ .

Группу сингулярных цепей определим как множество формальных линейных комбинаций:

c_{k}=\sum _{i}z_{i}(\Delta ^{k},f_{i})

с целыми (обычно их полагают также ограниченными) коэффициентами

z_{i}

.

При этом для линейного отображения $s_{\pi }:\Delta ^{k}\to \Delta ^{k}$ , определяемого перестановкой $\pi$ точек $(a_{0},a_{1},...~a_{k})$ , полагают $(\Delta ^{k},f)=(-1)^{\pi }(\Delta ^{k},f\circ s_{\pi })$ .

Граничный оператор $\partial$ определяется на сингулярном симплексе $(\Delta _{k},f)$ так:

\partial (\Delta _{k},f)=\sum _{i}(-1)^{i}(\Delta _{k-1},f_{i})

,

где $\Delta _{k-1}$ стандартный $(k-1)$ -мерный симплекс, а $f_{i}=f\circ \epsilon _{i}$ , где $\epsilon _{i}$ — это его отображение на $i$ -ю грань стандартного симплекса $\Delta ^{k}(\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle )$ .

Аналогично симплициальным гомологиям доказывается что $\partial \partial =0$ .

Как и раньше вводятся понятия сингулярных циклов — таких цепей $c_{k}$ , что $\partial {c_{k}}=0$ , и границ — цепей $c_{k}=\partial {c_{k+1}}$ для некоторого $c_{k+1}$ .

Факторгруппа группы циклов по группе границ $H_{k}=Z_{k}/B_{k}$ называется группой сингулярных гомологий.

Пример

Найдём, к примеру, сингулярные гомологии пространства из одной точки $X=*$ .

Для каждой размерности существует только одно-единственное отображение $f^{k}:\Delta ^{k}\to *$ .

Граница симплекса $\partial _{k}(\Delta ^{k},f^{k})=\sum (-1)^{i}(\Delta ^{k-1},f_{i}^{k-1})$ , где все $f_{i}^{k-1}$ равны, так как отображают симплекс в одну точку (обозначим $f^{k-1}$ ).