Символы Кристоффеля

Си́мволы Кристо́ффеля (или кристоффели) — коэффициенты координатного выражения аффинной связности, в частности, связности Леви-Чивиты. Названы в честь Эльвина Бруно Кристоффеля. Используются в дифференциальной геометрии, общей теории относительности и близких к ней теориях гравитации. Появляются в координатном выражении тензора кривизны. При этом сами символы тензорами не являются.

Обычно обозначаются $\Gamma _{ij}^{k}$; иногда, следуя первоначальному обозначению Кристоффеля, используется символ $\{{\begin{smallmatrix}k\\ij\end{smallmatrix}}\}.$

Ниже используется правило суммирования Эйнштейна, то есть по повторяющимся верхнему и нижнему индексам подразумевается суммирование.

История

Символы впервые появились в статье Кристоффеля «О преобразовании однородных дифференциальных выражений второй степени» (нем. Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades — J. fur Math., № 70, 1869). В ней автор рассмотрел условия совпадения римановой геометрии, определяемой двумя различными метрическими формами. Независимо от Кристоффеля аналогичную задачу решил Рудольф Липшиц, чья статья появилась годом позже.

Элементарное понятие о символах Кристоффеля

Рис. 1. Параллельный перенос вдоль луча

Рис. 2. Параллельный перенос вдоль дуги

Введение

Наглядное представление о символах Кристоффеля можно получить на примере полярной системы координат. В этой системе координатами точки являются расстояние ${r}$ от неё до полюса и угол $\varphi$ направления от полярной оси.

Координатами вектора, как и в прямоугольной системе координат, следует считать дифференциалы (бесконечно малые приращения) этих величин: $({\rm {d}}r,\,{\rm {d}}\varphi )$.

Пусть есть вектор ${\boldsymbol {A}}$ с компонентами $(a,\,\alpha )$, где $a$ имеет геометрический смысл проекции вектора ${\boldsymbol {A}}$ на радиальный луч (проходящий через начало вектора), а $\alpha$ — угол, под которым вектор виден из полюса. В прямоугольной системе координат компоненты вектора не меняются при параллельном переносе. В полярной системе координат это не так (см. рис 1 и 2).

Символы Кристоффеля как раз и выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе.

Параллельный перенос вдоль координатных линий

При смещении вектора вдоль радиального луча на расстояние ${\rm {d}}r$, его компонента $a$, очевидно, не меняется, но вторая его координата ($\alpha$) уменьшается (рис. 1). Величина вектора $|A|^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2}$ остаётся неизменной, поэтому $a^{2}+(r+{\rm {d}}r)^{2}(\alpha +{\rm {d}}\alpha )^{2}=a^{2}+r^{2}\alpha ^{2}$. Отсюда получается (пренебрежением величинами второго и большего порядков малости):

${\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,\alpha \,{\rm {d}}r.$

При параллельном переносе вдоль дуги меняются обе координаты $a$ и $\alpha$ (рис. 2). Очевидно, $\alpha ={\frac {A}{r}}\sin \lambda$, $a=A\cos \lambda$, и ${\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi$ поэтому:

${\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,a\,{\rm {d}}\varphi .$

Кроме этого, так как $a=A\cos \lambda$, ${\rm {d}}\lambda =-{\rm {d}}\varphi$, и $A\sin \lambda =r\alpha$, то

${\rm {d}}a=-(-r)\,\alpha \,{\rm {d}}\varphi .$

Параллельный перенос в произвольном направлении

При произвольном малом смещении вектора (когда меняются и $r$, и $\varphi$) изменения компонент надо складывать:

${\rm {d}}a=-(-r)\,\alpha \,{\rm {d}}\varphi .$ ${\rm {d}}\alpha =-{\frac {1}{r}}\,\alpha \,{\rm {d}}r-{\frac {1}{r}}\,a\,{\rm {d}}\varphi .$

Полученные выражения имеют общую структуру: изменение компонент вектора пропорционально всем компонентам вектора и пропорционально величине сдвига вектора. Коэффициенты пропорциональности (без общего минуса) и называются символами Кристоффеля.

В более общих обозначениях $x^{1}=r$, $x^{2}=\varphi$, ${A^{1}=a}$ и $A^{2}=\alpha$ можно записать (имея в виду сумму по повторяющимся индексам):

${\rm {d}}A^{i}=-\Gamma _{kl}^{i}A^{k}{\rm {d}}x^{l}.$

Здесь символы Кристоффеля ${\Gamma _{22}^{1}=-r}$, $\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{21}^{2}=1/r$, а все остальные равны нулю.

В прямоугольной системе координат все символы Кристоффеля равны нулю, так как компоненты вектора не изменяются при параллельном переносе. Из этого можно сделать вывод, что символы Кристоффеля не образуют тензор: если тензор равен нулю в какой-либо системе координат, то он равен нулю во всех остальных системах координат.

Символы Кристоффеля первого и второго рода

Символы Кристоффеля второго рода $\Gamma _{ij}^{k}$ можно определить как коэффициенты разложения ковариантной производной координатных векторов $\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$ по базису:

$\nabla _{\partial _{j}}\partial _{i}=\Gamma _{ij}^{k}\partial _{k}.$

Символы Кристоффеля первого рода $\Gamma _{n,ij}^{}$:

$\Gamma _{n,ij}=g_{kn}\Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {\partial g_{in}}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial g_{jn}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial g_{ij}}{\partial x^{n}}}\right).$

Выражение через метрический тензор

Символы Кристоффеля связности Леви-Чивиты для карты $x^{i}$ могут быть определены из отсутствия кручения, то есть,

$\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj},$

и того условия, что ковариантная производная метрического тензора $g_{ik}$ равна нулю:

$0=\nabla _{\ell }g_{ik}={\frac {\partial g_{ik}}{\partial x^{\ell }}}-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.$

Для сокращения записи символ набла $\nabla$ и символы частных производных часто опускаются, вместо них перед индексом, по которому производится дифференцирование, ставится точка с запятой «;» в случае ковариантной и запятая «,» в случае частной производной. Таким образом, выражение выше можно также записать как

$0=g_{ik;\ell }=g_{ik,\ell }-g_{mk}\Gamma ^{m}{}_{i\ell }-g_{im}\Gamma ^{m}{}_{k\ell }.$

Явные выражения для символов Кристоффеля второго рода получаются, если сложить это уравнение и другие два уравнения, которые получаются циклической перестановкой индексов:

$\Gamma ^{i}{}_{k\ell }={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{\ell }}}+{\frac {\partial g_{m\ell }}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{k\ell }}{\partial x^{m}}}\right)={\frac {1}{2}}g^{im}(g_{mk,\ell }+g_{m\ell ,k}-g_{k\ell ,m}),$

где $g^{ij}$ — контравариантное представление метрики, которое есть матрица, обратная к $g_{ij}$, находится путём решения системы линейных уравнений $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$.

Инвариантные обозначения

Инвариантные обозначения для связности абстрагируются от конкретной системы координат и поэтому более предпочтительны при доказательстве математических теорем.

Пусть X и Y — векторные поля с компонентами $X^{i}$ и $Y^{k}$. Тогда k-я компонента ковариантной производной поля Y по отношению к X задается выражением

$\left(\nabla _{X}Y\right)^{k}=X^{i}\nabla _{i}Y^{k}=X^{i}\left({\frac {\partial Y^{k}}{\partial x^{i}}}+\Gamma ^{k}{}_{im}Y^{m}\right).$

Условие отсутствия кручения у связности:

$\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$

эквивалентно симметричности символов Кристоффеля по двум нижним индексам:

$\Gamma ^{i}{}_{jk}=\Gamma ^{i}{}_{kj}.$

Замена координат

Несмотря на то, что символы Кристоффеля записываются в тех же обозначениях, что и компоненты тензоров, они не являются тензорами, потому что не преобразуются как тензоры при переходе в новую систему координат. В частности, выбором координат в окрестности любой точки символы Кристоффеля могут быть локально сделаны равными нулю (или обратно ненулевыми), что невозможно для тензора.

При замене переменных $(x^{1},\dots ,x^{n})\$ на $(y^{1},\dots ,y^{n})$ базисные векторы преобразуются ковариантно:

${\frac {\partial }{\partial y^{i}}}={\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}},$

откуда следует формула преобразования символов Кристоффеля:

${{\bar {\Gamma }}^{k}{}_{ij}}={\frac {\partial x^{p}}{\partial y^{i}}}\,{\frac {\partial x^{q}}{\partial y^{j}}}\,\Gamma ^{r}{}_{pq}\,{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}+{\frac {\partial y^{k}}{\partial x^{r}}}\,{\frac {\partial ^{2}x^{r}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}.$

Черта означает систему координат y. Таким образом, символы Кристоффеля не преобразуются как тензор. Они представляют собой более сложный геометрический объект в касательном пространстве с нелинейным законом преобразования от одной системы координат к другой.

Примечание. Можно заметить, например, из определения, что первый индекс является тензорным, то есть по нему символы Кристоффеля преобразуются как тензор.

Символы Кристоффеля в различных системах координат

Пользуясь выражением символа через метрический тензор, либо преобразованием координат, можно получить значения их в любой системе координат. В механике и физике чаще всего используются ортогональные криволинейные системы координат. В этом случае символы Кристоффеля с равными коэффициентами выражаются через коэффициенты Ламе (диагональные элементы метрического тензора) $H_{\beta }$, а все остальные равны нулю.

Символы Кристоффеля первого рода выражаются так:

$\Gamma _{\beta \beta ,\gamma }=-H_{\beta }H_{\gamma }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}$ при $\beta \neq \gamma ,$

$\Gamma _{\beta \gamma ,\beta }=H_{\beta }{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.$

Символы Кристоффеля второго рода:

$\Gamma _{\beta \beta }^{\gamma }=-{\frac {H_{\beta }}{H_{\gamma }^{2}}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}$ при $\beta \neq \gamma ,$

$\Gamma _{\beta \gamma }^{\beta }=\Gamma _{\gamma \beta }^{\beta }={\frac {1}{H_{\beta }}}{\frac {\partial H_{\beta }}{\partial x^{\gamma }}}.$

Значения для распространённых систем координат:

• В декартовой системе координат $\{x,y,z\}$: $\Gamma _{ij}^{k}\equiv 0$, поэтому ковариантная производная совпадает с частной производной.
• В цилиндрической системе координат $\{r,\phi ,z\}$: $\Gamma _{22}^{1}=-r$, $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}={\frac {1}{r}}$. Остальные равны нулю.
• В сферической системе координат $\{r,\theta ,\phi \}$: $\Gamma _{22}^{1}=-r$, $\Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta$, $\Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}}$, $\Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta$, $\Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\operatorname {ctg} \theta$. Остальные равны нулю.

Вариации и обобщения

Разница двух аффинных связностей

$\Gamma _{X}Y=\nabla _{X}Y-{\tilde {\nabla }}_{X}Y$

является тензором. В случае если ${\tilde {\nabla }}$ определяется в карте как связность в которой тензорные поля с постоянными компонентами параллельны, кристоффели $\Gamma _{jk}^{i}$ являются компонентами полученного тензора $\Gamma$. В этом случае отсутствие кручения у обеих связностей влечёт симметрию тензора

$\Gamma _{X}Y=\Gamma _{Y}X$.

Можно выбрать другую базовую связность ${\tilde {\nabla }}$. Например, объявив параллельным произвольное поле ортонормированных реперов; так это делается в методе подвижного репера. Поскольку в этом случае связность ${\tilde {\nabla }}$ может иметь ненулевое кручение, то вообще говоря $\Gamma _{X}Y\neq \Gamma _{Y}X$. Однако поскольку обе связности римановы, выполняется другое, не менее полезное соотношение:

$\langle \Gamma _{X}Y,Z\rangle +\langle Y,\Gamma _{X}Z\rangle =0$.

Иначе говоря $\Gamma$ является 1-формой на многообразии со значениями $\Gamma _{X}$ в антисимметрических операторах на касательном пространстве.

См. также

• Геодезическая
• Символ Леви-Чивиты

Литература

• Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. — М.: Высшая школа, 2001. — 575 с. — ISBN 5-06-004155-7.

• Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. — М.: Издательство Московского университета, 1974. — 206 с.

• Чернавский А. В. Дифференциальная геометрия, 2 курс.