Семейство (математика)

Семейство или индексированное семейство — некоторая совокупность объектов, каждый из которых ассоциирован с индексом из некоторого индексного множества. Более формально, индексированное семейство представляет собой некоторую математическую функцию $x$ вместе с её областью определения $I$ и областью значений $X$ . Множество $I$ в таких обозначениях называется индексным (или просто индексом), а $X$ — индексированным множествами семейства.

Определение

Пусть $I$ и $X$ — некоторые множества, а $x$ — сюръективная функция

{\begin{aligned}x\colon I&\to X\\i&\mapsto x_{i}=x(i).\end{aligned}}

Такое описание задаёт семейство элементов $X$ индексированное множеством $I$ , что также обозначается как $\{x_{i}\}_{i\in I}$ или просто $\{x_{i}\}$ . Индексное множество при этом не обязано быть счётным.

Примеры

Индексная нотация

При использовании индексной нотации индексированные элементы образуют семейство. Например, в следующем высказывании:

Векторы $v_{1},\dots ,v_{n}$ линейно независимы.

Неявно вводится семейство векторов ${\textstyle \{v_{i}\}_{i\in \{1,\dots ,n\}}}$ . При этом важно, что речь идёт именно о семействе, а не о множестве, так как множества не упорядочены и говорить об $i$ -м элементе множества было бы бессмысленно без заданной индексации. Кроме того, линейная независимость это свойство всей совокупности объектов, поэтому важно, что речь идёт именно о семействе, а не множестве векторов.

Матрицы

В следующем высказывании:

Матрица $A$ невырождена если и только если её строки линейно независимы.

Как и в предыдущем высказывании, строки матрицы рассматриваются именно как семейство, а не как множества. Например, для следующей матрицы:

A={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}.

Множество её строк состоит из единственного элемента $(1,1)$ и является линейно независимым, но матрица вырождена. В то же время семейство строк содержит два элемента и является линейно зависимым.

Прочие примеры

Пусть через ${\bf {n}}$ обозначается конечное множество $\{1,2,\dots ,n\}$ , где $n$ — положительное целое число.

Упорядоченная пара — это семейство, индексированное двухэлементным множеством ${\bf {2}}=\{1,2\}$ .
Кортеж — это семейство, индексированное множеством ${\bf {n}}$ .
Последовательность — это семейство, индексированное натуральными числами.
Матрица — это семейство, индексированно декартовым произведением ${\bf {n}}\times {\bf {m}}$ .
Направленность — это семейство, индексированное направленным множеством.

Операции над семействами

Индексированные множества часто используются в суммах и подобных операциях. Например, если $\{a_{i}\}_{i\in I}$ — это семейство чисел, то сумма всех таких чисел обозначается как

\sum _{i\in I}a_{i}.

Если $\{A_{i}\}_{i\in I}$ — семейство множеств, то объединение всех элементов семейства обозначается как

\bigcup _{i\in I}A_{i}.

Аналогичным образом могут быть записаны пересечения и декартовы произведения всех элементов семейства.

В теории категорий

Аналогом семейства в теории категорий являются диаграммы. Диаграмма — это функтор, определяющий семейство объектов категории $C$ , индексированное некоторой другой категорией $J$ , который также индексирует морфизмы категории.

См. также

Литература

Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM (volume).