Свойство Лузина

Свойство Лузина или свойство N — одно из слабых свойств регулярности для функций. Применяется в вещественном анализе. Названо в честь Николая Николаевича Лузина.

Формулировка

Функция $f\colon \mathbb {I} \to \mathbb {R} ,$ заданная на вещественном интервале $\mathbb {I} \subset \mathbb {R} ,$ обладает свойством Лузина, если для произвольного подмножества нулевой меры Лебега его образ также имеет нулевую меру Лебега. Иначе говоря, для любого подможества $N\subset \mathbb {I}$ выполняется

$\lambda (N)=0\quad \Rightarrow \quad \lambda (f(N))=0,$

где $\lambda$ обозначает меру Лебега.

Примеры

• Каждая абсолютно непрерывная функция обладает свойством Лузина.
• Канторова лестница не обладает свойством Лузина: мера Лебега Канторова множества равна нулю, однако его образ является всем интервалом [0,1].

Свойства

• Если функция f на отрезке [a,b] является непрерывной, имеет ограниченную вариацию и обладает свойством Лузина, то она является абсолютно непрерывной.