Ряд Фантапье

Ряд Фантапье — разложение аналитического функционала в ряд, аналогичный ряду Тейлора, в некоторой окрестности области его определения. Введён в науку Л. Фантапье в 1930 г.

Определение

Пусть $F[y(t)]$ — аналитический функционал, $y(t)$ — некоторая функция действительного переменного $t$, на которой он задан. Всякий аналитический функционал в окрестности его области определения можно разложить в абсолютно сходящийся ряд, аналогичный ряду Тейлора:

$F[y(t)+\phi (t)]=F[y(t)]+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}F^{(n)}[y(t);\alpha _{1}^{*},\alpha _{2}^{*},...,\alpha _{n}^{*}]\phi (\alpha _{1})_{*}\phi (\alpha _{2})_{*}...\phi (\alpha _{n})_{*})$

Здесь $F^{(n)}[y(t);\alpha _{1}^{*},\alpha _{2}^{*},...,\alpha _{n}^{*}]=\left\{{\frac {\partial ^{n}}{\partial _{\epsilon _{1}}\partial _{\epsilon _{2}}...\partial _{\epsilon _{n}}}}F\left[y(t)+{\frac {\epsilon _{1}}{\alpha _{1}-t}}+{\frac {\epsilon _{2}}{\alpha _{2}-t}}+...+{\frac {\epsilon _{n}}{\alpha _{n}-t}}\right]\right\}_{\epsilon _{1}=\epsilon _{2}=...=\epsilon _{n}=0}$ — производная n-го порядка от функционала $F$ по $y$ в точке $\alpha$, символ $*$ обозначает интеграл вдоль замкнутого пути.

Литература

• Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа. — М.: Наука, 1967. — 509 с.