Размерность Хаусдорфа

Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть $\Omega$ — ограниченное множество в метрическом пространстве $X$ .

ε-покрытия

Пусть $\varepsilon >0$ . Не более чем счётный набор $\{\omega _{i}\}_{i\in I}$ подмножеств пространства $X$ будем называть $\varepsilon$ -покрытием множества $\Omega$ , если выполнены следующие два свойства:

$\Omega \subset \bigcup _{i\in I}\omega _{i}$
для любого $i\in I$ $|\omega _{i}|<\varepsilon$ (здесь и далее $|\omega |$ означает диаметр множества $\omega$ ).

α-мера Хаусдорфа

Пусть $\alpha >0$ . Пусть $\Theta =\{\omega _{i}\}_{i\in I}$ — покрытие множества $\Omega$ . Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: $F_{\alpha }(\Theta ):=\sum \limits _{i\in I}|\omega _{i}|^{\alpha }$ .

Обозначим через $M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )$ «минимальный размер» ${\varepsilon }$ -покрытия множества $\Omega$ : $M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega ):=\inf(F_{\alpha }(\Theta ))$ , где инфимум берётся по всем $\varepsilon$ -покрытиям множества $\Omega$ .

Очевидно, что функция $M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )$ (нестрого) возрастает при уменьшении $\varepsilon$ , поскольку при уменьшении $\varepsilon$ мы только сжимаем множество возможных $\varepsilon$ -покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при $\varepsilon \rightarrow 0+$ :

$M_{\alpha }(\Omega )=\lim \limits _{\varepsilon \rightarrow 0+}M_{\alpha }^{\varepsilon }(\Omega )$ .

Величина $M_{\alpha }(\Omega )$ называется $\alpha$ -мерой Хаусдорфа множества $\Omega$ .

Свойства α-меры Хаусдорфа

$\alpha$ -мера Хаусдорфа является борелевской мерой на $X$ .
с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; $d$ -мера Хаусдорфа множеств в $\mathbb {R} ^{d}$ совпадает с их $d$ -мерным объёмом.
$M_{\alpha }(\Omega )$ убывает по $\alpha$ . Более того, для любого множества $\Omega$ существует^[1]^[2]^[3] критическое значение $\alpha _{0}$ , такое, что:
- $M_{\alpha }(\Omega )=+\infty$ для всех $\alpha <\alpha _{0}$
- $M_{\alpha }(\Omega )=0$ для всех $\alpha >\alpha _{0}$

Значение $M_{\alpha _{0}}(\Omega )$ может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа $\dim _{H}\Omega$ множества $\Omega$ называется число $\alpha _{0}$ из предыдущего пункта.

Примеры

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на $n$ частей, подобных исходному множеству с коэффициентами $r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}$ , то его размерность $s$ является решением уравнения $r_{1}^{s}+r_{2}^{s}+\dots +r_{n}^{s}=1$ . Например,

размерность множества Кантора равна $\ln 2/\ln 3$ (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),
размерность треугольника Серпинского — $\ln 3/\ln 2$ (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),
размерность кривой дракона — $2$ (разбивается на 2 части, коэффициент подобия ${\sqrt {1/2}}$ ).

Свойства

Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей.
- В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.
Для произвольных метрических пространств $X$ и $Y$ выполняется соотношение
$\dim _{H}(X\times Y)\geq \dim _{H}(X)+\dim _{H}(Y).$
- Для некоторых пар $X$ и $Y$ неравенство строгое, более того такую пару можно выбрать из компактных подмножеств вещественной прямой.^[4]

См. также

Примечания

↑ Доказательство в Pertti Mattila, «Geometry of sets and measures in Euclidian Spaces», 1995 — теорема 4.7
↑ (Springer) Encyclopedia of Mathematics — отсылка к Mattila (неопр.). Дата обращения: 31 августа 2015. Архивировано 16 января 2020 года.
↑ Доказательство в Kenneth Falconer, «Fractal Geometry» (второе издание), 2003 — стр. 31
↑ Example 7.8 в Falconer, Kenneth J. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications (англ.). — John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2003.

Литература

Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7.

[1] Доказательство в Pertti Mattila, «Geometry of sets and measures in Euclidian Spaces», 1995 — теорема 4.7

[2] (Springer) Encyclopedia of Mathematics — отсылка к Mattila (неопр.). Дата обращения: 31 августа 2015. Архивировано 16 января 2020 года.

[3] Доказательство в Kenneth Falconer, «Fractal Geometry» (второе издание), 2003 — стр. 31

[4] Example 7.8 в Falconer, Kenneth J. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications (англ.). — John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey, 2003.

[1]

[2]

[3]

[4]