Разложение Шмидта

Разложение Шмидта — определённого типа выражение для вектора в тензорном произведении двух гильбертовых пространств. По сути является переформулировкой сингулярного разложения для матриц.

Имеет многочисленные приложения в квантовой теории информации, например в запутанности. Hазванo в честь Эрхардa Шмидтa.

Формулировка

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — гильбертовы пространства от размерностей $m$ и $n$ соответственно. Предположим $m\geq n$. Тогда для любого вектора $w$ в тензорном произведении $H_{1}\otimes H_{2}$ существуют ортонормированные наборы векторов $\{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1}$ и $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2}$ такие, что

$w=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}u_{i}\otimes v_{i},$

где $\alpha _{i}$ вещественные неотрицательные числа. Более того, мультимножество $\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$, однозначно определяется $w$.

Замечания

• Наборы векторов $\{u_{1},\ldots ,u_{n}\}\subset H_{1}$ и $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}\subset H_{2}$ называются базисами Шмидта для $w$.
• Числа $\{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\}$ называются коэффициентами Шмидта для $w$.