Разбиение множества

Разбие́ние мно́жества — это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся непустых подмножеств.

Определение

Пусть $X$ — произвольное множество. Семейство непустых множеств $\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ , где $A$ — некоторое множество индексов (конечное или бесконечное), называется разбиением $X$ , если:

$U_{\alpha }\cap U_{\beta }=\emptyset$ для любых $\alpha ,\beta \in A$ , таких что $\alpha \not =\beta$ ;
$X=\bigcup \limits _{\alpha \in A}U_{\alpha }$ .

При этом множества $\ U_{\alpha }$ называются блоками или частями разбиения данного множества $X$ .

Разбиения конечных множеств

Разбиения конечных множеств, а также подсчёт количества различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес в комбинаторике. В частности, некоторые комбинаторные функции естественно возникают как количества разбиений того или иного вида.

Например, числа Стирлинга второго рода представляют собой количество неупорядоченных разбиений n-элементного множества на m частей, в то время как мультиноминальный коэффициент выражает количество упорядоченных разбиений n-элементного множества на m частей.Количество всех неупорядоченных разбиений n-элементного множества задаётся числом Белла $B_{n}$ .

Примеры

$\mathbb {Z} =(2\mathbb {Z} )\cup (2\mathbb {Z} +1)$ , где $\mathbb {Z} ,2\mathbb {Z} ,2\mathbb {Z} +1$ — множества всех целых чисел, чётных целых чисел и нечётных целых чисел соответственно;
Множество всех вещественных чисел $\mathbb {R}$ может быть представлено в виде: $\mathbb {R} =\cup _{n\in \mathbb {Z} }[n,n+1)$ ;
Множество из трёх элементов $\{a,b,c\}$ может быть разбито пятью способами: $\{\{a,b,c\}\}$ , $\{\{a\},\{b,c\}\}$ , $\{\{b\},\{a,c\}\}$ , $\{\{c\},\{a,b\}\}$ , $\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$ — значит, число Белла $B(3)=5$ .

См. также