Радикальная ось

Радика́льная ось — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведённых к двум данным окружностям из любой точки $M$ данного геометрического места точек.

Радикальная ось двух пересекающихся окружностей

Свойства

Радикальная ось является прямой, поскольку степень точки относительно окружности равна $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C$, где коэффициенты $A$, $B$ и $C$ определяются через координаты центра и радиус окружности, то, приравняв степени точки относительно двух окружностей, получается:

$x^{2}+y^{2}+A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=x^{2}+y^{2}+A_{2}x+B_{2}y+C_{2}\Leftrightarrow (A_{1}-A_{2})x+(B_{1}-B_{2})y+(C_{1}-C_{2})=0$

— уравнение прямой. Существует также доказательство этого факта с использованием только геометрических методов.

Радикальная ось двух непересекающихся окружностей

Радикальная ось существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и мнимых окружностей (мнимого радиуса).

Три возможных случая: 1) окружности не пересекаются и ни одна из них не лежит внутри другой; 2) окружности пересекаются; 3) окружности не пересекаются и одна из них лежит внутри другой

Радикальная ось перпендикулярна линии центров, что следует из симметричности обеих окружностей относительно линии центров.

Если $P$ — точка на радикальной оси, то длины касательных из точки $P$ к обеим окружностям равны — это следует из того, что степень точки равна квадрату длины отрезка касательной. В частности, радикальная ось делит пополам отрезки общих касательных.

Расширяющиеся окружности точек степени $d$ относительно каждой из двух начальных окружностей и точки, принадлежащие радикальной оси (жёлтые)

Если окружности пересекаются в двух точках, то их радикальной осью будет прямая, проходящая через эти точки, если они касаются внешним образом — то радикальной осью будет общая внутренняя касательная, если внутренним — то общая касательная (единственная).

Построение радикальной оси двух окружностей

Если прямые, содержащие хорды $AB$ и $CD$ первой и второй окружности соответственно пересекаются на радикальной оси, то четырёхугольник $ABCD$ вписанный. Это несложно доказать: пусть $P$ — точка пересечения. По свойству степени точки, она равна $PA\cdot PB,$ а так как P лежит на радикальной оси, то она равна и $PC\cdot PD.$ Так как $PA\cdot PB=PC\cdot PD,$ то точки $A,B,C$ и $D$ лежат на одной окружности. Верно и обратное: если две окружности пересечь третьей так, что $AB$ — общая хорда первой и третьей, а $CD$ — общая хорда второй и третьей, то прямые AB и CD пересекутся на радикальной оси первых двух окружностей, причём в так называемом радикальном центре трёх окружностей (см. ниже). На этом свойстве основано построение радикальной оси циркулем и линейкой: построим окружность, пересекающую две данные в четырёх точках, а затем опустим из их радикального центра перпендикуляр на линию центров.

Радикальный центр трёх окружностей

Радикальные оси трёх окружностей с неколлинеарными центрами пересекаются в одной точке, называемой радикальным центром. Пусть $\Omega _{1},\Omega _{2},\Omega _{3}$ — окружности, а $P$ — точка пересечения радикальной оси окружностей $\Omega _{1}$ и $\Omega _{2}$ с радикальной осью окружностей $\Omega _{2}$ и $\Omega _{3}$. Если ${\mathfrak {P}}(\omega ,A)$ — степень точки $A$ относительно окружности $\omega ,$ то по определению радикальной оси ${\mathfrak {P}}(\Omega _{1},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{2},P)={\mathfrak {P}}(\Omega _{3},P),$ и точка $P$ лежит на радикальной оси окружностей $\Omega _{1}$ и $\Omega _{3}.$

Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, находится на радикальной оси

Геометрическое место центров окружностей, ортогональных двум данным, есть их радикальная ось с исключённой общей хордой (если она есть).

Антигомологические хорды^{[уточнить]} двух окружностей пересекаются на их радикальной оси (видимо, имеются в виду две хорды, проходящие через две пары антигомотетических точек двух окружностей.

Если для четырёхугольника $ABCD$ прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $F$, $BC$ и $AD$ — в $E$, то окружности, построенные на отрезках $AC$, $BD$ и $EF$, как на диаметрах, имеют общую радикальную ось, на которой лежат точки пересечения высот треугольников $ABE$, $CDE$, $BCF$ и $ADF$ (прямая Обера — Штейнера).

Антигомотетические точки двух окружностей имеют хорды, которые пересекаются на радикальной оси

Ортогональность

Построение радикальной оси двух непересекающхся окружностей; радикальная ось показана красной

Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными. Окружности можно считать ортогональными, если они образуют прямой угол друг с другом. Две пересекающиеся в точках $A$ и $B$ окружности с центрами $O$ и $O'$ называются ортогональными, если являются прямыми углы $\angle OAO$ и $\angle OBO$. Именно это условие гарантирует прямой угол между окружностями. В этом случае перпендикулярны радиусы (нормали) двух окружностей, проведённые в точку их пересечения. Следовательно, перпендикулярны и касательные двух окружностей, проведённые в точку их пересечения. Касательная окружности перпендикулярна радиусу (нормали), проведённому в точку касания. Обычно угол между кривыми — это угол между их касательными, проведёнными в точке их пересечения.

Возможно другое дополнительное условие: если две пересекающиеся в точках $A$ и $B$ окружности имеют середины пресекающихся дуг в точках $C$ и $D$, то есть дуга $AC$ равна дуге $CB$, дуга $AB$ равна дуге $DB$, то эти окружности называются ортогональными, если являются прямыми углы $\angle CAD$ и $\angle CBD$.

Следствия

На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с двумя его сторонами, эти вневписанные окружности отсекают равные отрезки. Вариант формулировки: если две вневписанные окружности треугольника касаются двух его разных сторон и двух их продолжений в четырёх точках касания, то образуемый четырьмя последними точками, как вершинами, четырёхугольник есть равнобокая трапеция, у которой равны две боковые стороны, а также равны две диагонали (касательные к двум окружностям).

Диагонали описанного около окружности шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона для окружности).