Равноугольный многоугольник

В евклидовой геометрии равноугольный многоугольник — это многоугольник, чьи углы при вершинах равны. Если при этом равны и стороны, то получается правильный многоугольник.

Равноугольный четырёхугольник

Единственным равноугольным треугольником является правильный треугольник. Только прямоугольники, включая квадрат, являются равноугольными четырёхугольниками.

В равноугольном n-угольнике каждый угол равен $180^{\circ }-{\tfrac {360^{\circ }}{n}}$. Это теорема о равноугольных многоугольниках.

Для равноугольных многоугольников верна теорема Вивиани:

Сумма расстояний от внутренней точки до сторон равноугольного многоугольника не зависит от расположения точки и является инвариантом многоугольника.

Прямоугольник (равноугольный четырёхугольник) с целыми длинами сторон можно разделить на единичные квадраты, а равноугольный шестиугольник с целыми длинами сторон можно разделить на правильные треугольники. Некоторые, но не все, равноугольные двенадцатиугольники можно разложить на комбинацию единичных квадратов и равносторонних треугольников. Остальные можно разложить на эти два вида фигур с дополнительными ромбами с углами 30 ° и 150 °.

Вписанный многоугольник равноуголен в том и только в том случае, когда чередующиеся стороны равны (то есть, стороны 1, 3, 5, ... равны и стороны 2, 4, ... тоже равны). Таким образом, если n нечётно, циклический многоугольник равноуголен в том и только в том случае, когда он правильный.

Для простого числа p любой равноугольный p-угольник с целыми сторонами является правильным. Более того, любой равноугольный p^k-угольник с целыми сторонами имеет p-кратную вращательную симметрию.

Литература

• Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979. — С. 32. — ISBN 0-486-23729-X.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Equiangular Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• A Property of Equiangular Polygons: What Is It About? обсуждение теоремы Viviani на Cut-the-knot.