Процесс Пуассона

См. также: Пальма поток

Процесс Пуассона, поток Пуассона, пуассоновский процесс — ординарный поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и подчиняется распределению Пуассона. В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью.

Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

$\Lambda (A)=\int \limits _{a}^{b}\lambda (t)\,dt$

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.

Потоки Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

Классификация

Различают два вида процессов Пуассона: простой (или просто: процесс Пуассона) и сложный (обобщённый).

Простой процесс Пуассона

Пусть $\lambda >0$. Случайный процесс $\{X_{t}\}_{t\geq 0}$ называется однородным Пуассоновским процессом с интенсивностью $\lambda$, если

1. $X_{0}=0$ почти достоверное.
2. $\{X_{t}\}$ — процесс с независимыми приращениями.
3. $X_{t}-X_{s}\sim \ \mathrm {P} (\lambda (t-s))$ для любых $0\leq s<t<\infty$, где $\mathrm {P} (\lambda (t-s))$ обозначает распределение Пуассона с параметром $\lambda (t-s)$.

Сложный (обобщённый) пуассоновский процесс

• Пусть $\xi _{1},...,\xi _{n}$ последовательность взаимно независимых одинаково распределённых случайных величин.
• Пусть $N(t)$ — простой пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda$, не зависящий от последовательности $\xi _{1},...,\xi _{n}$.

Обозначим через $S_{k}$ сумму первых k элементов введённой последовательности.

Тогда определим сложный Пуассоновский процесс $\{Y_{t}\}$ как $S_{N(t)}$ .

Свойства

• Времена между моментами скачков независимы и имеют экспоненциальное распределение ${\text{Exp}}(\lambda )$.
• Пуассоновский процесс принимает только неотрицательные целые значения, и более того

$\mathbb {P} (X_{t}=k)={\frac {\lambda ^{k}t^{k}}{k!}}e^{-\lambda t},\quad k=0,1,2,\ldots$,

то есть момент $k$-го скачка имеет гамма-распределение ${\text{Γ}}(\lambda ,k)$.

• Траектории процесса Пуассона — кусочно-постоянные, непрерывные справа, неубывающие функции со скачками равными единице почти наверное. Более точно

$\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=0)=1-\lambda h+o(h)$

$\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}=1)=\lambda h+o(h)$

$\mathbb {P} (X_{t+h}-X_{t}>1)=o(h)$ при $h\to 0$,

где $o(h)$ обозначает «о малое».

Критерий

Для того чтобы некоторый случайный процесс $\{X_{t}\}$ с непрерывным временем был пуассоновским (простым, однородным) или тождественно нулевым достаточно выполнение следующих условий:

1. $X_{0}=0$.
2. Процесс имеет независимые приращения.
3. Процесс однородный.
4. Процесс принимает целые неотрицательные значения.
5. $P\{X_{h}\geq 2\}=o(h)$ при $h\searrow 0$.

Информационные свойства

• Пусть $\tau _{1},\dots ,\tau _{n}$ — моменты скачков процесса Пуассона. $T=\tau _{j}-\tau _{j-1}$.

Зависит ли $T$ от предыдущей части траектории?
$\mathbb {P} (\{T>t+s\mid T>s\})$ — ?

Пусть $u(t)=\mathbb {P} (T>t)$.

$u(t\mid s)={\frac {\mathbb {P} (T>t+s\cap T>s)}{\mathbb {P} (T>s)}}={\frac {\mathbb {P} (T>t+s)}{\mathbb {P} (T>s)}}$
$u(t\mid s)u(s)=u(t+s)$
$u(t\mid s)=s(t)\Leftrightarrow u(t)=e^{-\alpha t}$.
Распределение длин промежутков времени между скачка́ми обладает свойством отсутствия памяти ⇔ оно показательно.

• Рассмотрим отрезок $[a,b]$ на временно́й оси.

$X(b)-X(a)=n$ — число скачков на отрезке $[a,b]$.
Условное распределение моментов скачков $\tau _{1},\dots ,\tau _{n}\mid X(b)-X(a)=n$ совпадает с распределением вариационного ряда, построенного по выборке длины $n$ из $R[a,b]$.

Плотность этого распределения $f_{\tau _{1},\dots ,\tau _{n}}(t)={\frac {n!}{(b-a)^{n}}}\mathbb {I} (a\leqslant t_{1}\leqslant \cdots \leqslant t_{n}\leqslant b)$

Центральная предельная теорема

• Теорема.

$\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}<x{\biggr )}{\underset {\lambda t\to \infty }{\overset {x}{\rightrightarrows }}}\Phi (x)\sim N(0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {u^{2}}{2}}}du$

Скорость сходимости:
$\sup \limits _{x}{\biggl |}\mathbb {P} {\biggl (}{\frac {X(t)-\lambda t}{\sqrt {\lambda t}}}<x{\biggr )}-\Phi (x){\biggr |}\leqslant {\frac {C_{0}}{\sqrt {\lambda t}}}$,
где $C_{0}$ — константа Берри-Эссеена.

Применение

Поток Пуассона служит для моделирования различных реальных потоков: несчастных случаев, потока заряженных частиц из космоса, отказов оборудования и других. Также возможно применение для анализа финансовых механизмов, таких как поток платежей и других реальных потоков. Для построения моделей различных систем обслуживания и анализа их пригодности.

Использование потоков Пуассона значительно упрощает решение задач систем массового обслуживания, связанных с расчётом их эффективности. Но необоснованная замена реального потока потоком Пуассона там, где это недопустимо, приводит к грубым просчётам.

Литература

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М.: Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Кингман Дж. Пуассоновские процессы. — М.: МЦНМО, 2007. — 136 с.

См. также

• Поток однородных событий
• Теория массового обслуживания