Пространство Урысона

Пространство Урысона — метрическое пространство, универсальное в определённом смысле. Обычно обозначается $\mathbb {U}$ .

Определение

Пространство Урысона — полное сепарабельное метрическое пространство $\mathbb {U}$ , обладающее следующими двумя свойствами:

Универсальность: любое конечное метрическое пространство изометрично некоторому подмножеству $\mathbb {U}$ .
Конечная однородность: для любых двух конечных изометричных его подмножеств $Y_{1},Y_{2}\subset \mathbb {U}$ любая изометрия между ними продолжается до глобальной изометрии $\mathbb {U}$ .

Замечание

Эквивалентно, пространство Урысона можно определить как полное сепарабельное метрическое пространство $\mathbb {U}$ , обладающее свойством продолжения; то есть любое изометрическое отображение $A\to \mathbb {U}$ из подмножества $A$ конечного метрического пространства $F$ можно продолжить до изометрического отображения $F\to \mathbb {U}$ .

Свойства

Пространство Урысона $\mathbb {U}$ существует и единственно с точностью до изометрии.

Пространство Урысона $\mathbb {U}$ является компактно однородным. То есть любое изометрическое отображение компактного подмножества $K\subset \mathbb {U}$ в $U$ можно продолжить до изометрии $\mathbb {U}$ .

Пространство Урысона $\mathbb {U}$ гомеоморфно произведению счётного числа вещественных прямых.^[1]

При некоторой естественной процедуре порождения случайного полного сепарабельного метрического пространства получающееся пространство почти наверное оказывается изометричным пространству Урысона.
- Это свойство аналогично основному свойству графу Радо — Эрдеша — Реньи.

История

Морис Фреше доказал, что пространство $\ell ^{\infty }$ универсально, то есть включает в себя изометрическую копию любого сепарабельного метрического пространства. Однако, в отличие от пространстве Урысона, $\ell ^{\infty }$ не является ни конечно-однородным, ни сепарабельным. Он поставил вопрос о существовании сепарабельного пространства, обладающего этим свойством. Такое пространство было построено Павлом Самуиловичем Урысоном.^[2]

На поставленный Урысоном вопрос о существовании неполного универсального конечно-однородного пространства дал положительный ответ Мирослав Катетов.^[3] В той же статье дано слегка упрощённое построение пространства Урысона.

Примечания

↑ V. Uspenskij. “The Urysohn universal metric space is homeomorphic to a Hilbert space”. Topology Appl. 139.1-3 (2004), 145–149.
↑
- «Sur un espace metrique universel» Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), стр. 803 (краткое сообщение)
- «Sur un espace metrique universel» Bull, de Sciences Mathematiques, 2-я серия, т. 51, стр. 1—38.
  - Перевод: Урысон, П. С. "Об универсальном метрическом пространстве." ПС Урысон. Труды по топологии и другим областям математики. М: 747—777.
↑ M. Katětov. “On universal metric spaces”. General topology and its relations to modern analysis and algebra, VI (Prague, 1986). Vol. 16. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1988, 323–330.

Ссылки

С. А. Богатый, Компактная однородность универсального метрического пространства Урысона, УМН, 55:2(332) (2000), 131—132.

А. М. Вершик, Случайное метрическое пространство есть пространство Урысона, Докл. РАН, 387:6 (2002), 733—736

А. М. Вершик, Универсальность и случайность в геометрии и анализе, видеозапись лекции 28 сентября 2006 г. на общеинститутском семинаре «Математика и её приложения» Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

А. М. Вершик, Случайные метрические пространства и универсальность, УМН, 59:2(356) (2004), 65-104.

J. Melleray, Some geometric and dynamical properties of the Urysohn space. Topology Appl. 155 (2008), no. 14, 1531–1560.

[1] V. Uspenskij. “The Urysohn universal metric space is homeomorphic to a Hilbert space”. Topology Appl. 139.1-3 (2004), 145–149.

[2] 
«Sur un espace metrique universel» Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), стр. 803 (краткое сообщение)

«Sur un espace metrique universel» Bull, de Sciences Mathematiques, 2-я серия, т. 51, стр. 1—38.
Перевод: Урысон, П. С. "Об универсальном метрическом пространстве." ПС Урысон. Труды по топологии и другим областям математики. М: 747—777.

[3] «Sur un espace metrique universel» Comptes Rendus Acad, Paris, 180 (1925), стр. 803 (краткое сообщение)

[4] «Sur un espace metrique universel» Bull, de Sciences Mathematiques, 2-я серия, т. 51, стр. 1—38.
Перевод: Урысон, П. С. "Об универсальном метрическом пространстве." ПС Урысон. Труды по топологии и другим областям математики. М: 747—777.

[5] Перевод: Урысон, П. С. "Об универсальном метрическом пространстве." ПС Урысон. Труды по топологии и другим областям математики. М: 747—777.

[3] M. Katětov. “On universal metric spaces”. General topology and its relations to modern analysis and algebra, VI (Prague, 1986). Vol. 16. Res. Exp. Math. Heldermann, Berlin, 1988, 323–330.

[1]

[2]

[3]