Производная Римана

Производная Римана, производная Шварца или вторая симметрическая производная, функции $f(x)$ в точке $x_{0}$ — предел

$D^{2}f=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}-\varepsilon )-2f(x_{0})+f(x_{0}+\varepsilon )}{\varepsilon ^{2}}}.$

Введена Риманом в 1854, производная Римана получила широкое применение в теории представления функций тригонометрическими рядами; в частности, в связи с методом суммирования Римана.

Связанные определения

Верхний и нижний пределы

${\frac {f(x_{0}-\varepsilon )-2f(x_{0})+f(x_{0}+\varepsilon )}{\varepsilon ^{2}}}$

при $\varepsilon \to 0$ называются соответственно верхней ${\bar {D}}^{2}f(x_{0})$ и нижней ${\underline {D}}_{2}f(x_{0})$ производной Римана.

Свойства

• Если в точке $x_{0}$ существует 2-я производная $f''(x_{0}$), то существует производная Римана и $D^{2}f(x_{0})=f''(x_{0})$.
  • Обратное неверно.