Зада́чи тысячеле́тия — семь математических проблем, определённых Математическим институтом Клэя в 2000 году как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет», за решение каждой из которых обещано вознаграждение в 1 млн долларов США. Существует историческая параллель между задачами тысячелетия и списком проблем Гильберта 1900 года, оказавшим существенное влияние на развитие математики в XX веке; из 23 проблем Гильберта большинство уже решено, и только одна — гипотеза Римана — вошла в список задач тысячелетия.
По состоянию на 2024 год только одна из семи задач тысячелетия (гипотеза Пуанкаре) решена.
Решённые задачи
правитьГипотеза Пуанкаре
правитьСчитается наиболее известной проблемой топологии. Неформально говоря, она утверждает, что всякий трёхмерный «объект», обладающий некоторыми свойствами трёхмерной сферы (например, каждая петля внутри него должна быть стягиваема), обязан быть сферой с точностью до деформации.
Премия за доказательство гипотезы Пуанкаре присуждена в 2010 году российскому математику Григорию Перельману[1], опубликовавшему в 2002 году серию работ, из которых следует справедливость гипотезы, но учёный отказался принять эту премию, как раньше отказался от Филдсовской премии[2].
Нерешённые задачи
правитьРавенство классов P и NP
правитьЕсли положительный ответ на какой-то вопрос можно быстро (за полиномиальное время) проверить (используя некоторую вспомогательную информацию, называемую сертификатом), то верно ли, что и сам ответ (вместе с сертификатом) на этот вопрос можно быстро найти? Задачи второго типа относятся к классу P, первого — к классу NP. Проблема равенства этих классов является одной из важнейших проблем теории алгоритмов.
Гипотеза Ходжа
правитьВажная проблема алгебраической геометрии. Гипотеза описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями.
Гипотеза Римана
правитьГипотеза гласит, что все нетривиальные (то есть имеющие ненулевую мнимую часть) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть 1/2. Её доказательство или опровержение будет иметь далеко идущие последствия для теории чисел, особенно в области распределения простых чисел. Гипотеза Римана была восьмой в списке проблем Гильберта. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачен небольшой приз)[3][4].
Теория Янга — Миллса
правитьЗадача из области физики элементарных частиц. Требуется доказать, что для любой простой компактной калибровочной группы квантовая теория Янга — Миллса для пространства (четырёхмерного пространства-времени) существует и имеет ненулевую спектральную щель. Это утверждение соответствует экспериментальным данным и численному моделированию, однако доказать его до сих пор не удалось.
Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса
правитьУравнения Навье — Стокса описывают движение как и вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера
правитьГипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.
Примечания
править- ↑ James Carlson. First Clay Mathematics Institute Millennium Prize Announced. T-oday Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture a Awarded to Dr. Grigoriy Perelman (англ.). Математический институт Клэя (18 марта 2010). Дата обращения: 11 августа 2024. Архивировано 22 марта 2010 года.
- ↑ Посчитал и отказался. Газета.ру (23 марта 2010). Дата обращения: 11 августа 2024. Архивировано 26 октября 2014 года.
- ↑ Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Rules for the Millennium Prizes Архивная копия от 10 декабря 2011 на Wayback Machine
Ссылки
править- Задачи тысячелетия (англ.)
- А. М. Вершик «Что полезно математике? Размышления о премиях Clay Millenium»
- Великий вызов тысячелетия в математике (англ.)
- Devlin, Keith J. (2002), The Millennium Problems: The Seven Greatest Unsolved Mathematical Puzzles of Our Time, Basic Books, ISBN 0-465-01729-0
- Carlson, James; Jaffe, Arthur; Wiles, Andrew, eds. (2006), The Millennium Prize Problems, Providence, RI: Американское математическое общество и математический институт Клэя, ISBN 978-0-8218-3679-8