В математике , а более конкретно в дифференциальных уравнениях , принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения , а также неоднородного уравнения теплопроводности [ 1] . Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамеля (1797—1872), французского математика.
Дано неоднородное волновое уравнение:
u
t
t
−
c
2
u
x
x
=
f
(
x
,
t
)
{\displaystyle u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)}
с начальными условиями
u
(
x
,
0
)
=
u
t
(
x
,
0
)
=
0.
{\displaystyle u(x,0)=u_{t}(x,0)=0.}
Решение имеет вид:
u
(
x
,
t
)
=
1
2
c
∫
0
t
∫
x
−
c
(
t
−
s
)
x
+
c
(
t
−
s
)
f
(
ξ
,
s
)
d
ξ
d
s
.
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-s)}^{x+c(t-s)}f(\xi ,s)\,d\xi \,ds.}
Для линейного ОДУ с постоянными коэффициентами
править
Принцип Дюамеля говорит, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных может быть найдено путём нахождения решения для однородного уравнения, а затем подстановкой его в интеграл Дюамеля . Предположим, у нас есть неоднородное обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка m:
P
(
∂
t
)
u
(
t
)
=
F
(
t
)
{\displaystyle P(\partial _{t})u(t)=F(t)}
∂
t
j
u
(
0
)
=
0
,
0
≤
j
≤
m
−
1
{\displaystyle \partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1}
где
P
(
∂
t
)
:=
a
m
∂
t
m
+
⋯
+
a
1
∂
t
+
a
0
,
a
m
≠
0.
{\displaystyle P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\;a_{m}\neq 0.}
Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.
P
(
∂
t
)
G
=
0
,
∂
t
j
G
(
0
)
=
0
,
0
≤
j
≤
m
−
2
,
∂
t
m
−
1
G
(
0
)
=
1
/
a
m
.
{\displaystyle P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.}
Определим
H
=
G
χ
[
0
,
∞
)
{\displaystyle H=G\chi _{[0,\infty )}}
,
χ
[
0
,
∞
)
{\displaystyle \chi _{[0,\infty )}}
- характеристическая функция на интервале
[
0
,
∞
)
{\displaystyle [0,\infty )}
. Тогда
P
(
∂
t
)
H
=
δ
{\displaystyle P(\partial _{t})H=\delta }
есть обобщённая функция .
u
(
t
)
=
(
H
∗
F
)
(
t
)
{\displaystyle u(t)=(H\ast F)(t)}
=
∫
0
∞
G
(
τ
)
F
(
t
−
τ
)
d
τ
{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau }
=
∫
−
∞
t
G
(
t
−
τ
)
F
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau }
есть решение ОДУ.
Для уравнений в частных производных
править
Пусть есть неоднородное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами:
P
(
∂
t
,
D
x
)
u
(
t
,
x
)
=
F
(
t
,
x
)
{\displaystyle P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)}
где
D
x
=
1
i
∂
∂
x
{\displaystyle D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}}
Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.
Сначала, используя Преобразование Фурье в x имеем
P
(
∂
t
,
ξ
)
u
^
(
t
,
ξ
)
=
F
^
(
t
,
ξ
)
.
{\displaystyle P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).}
где
P
(
∂
t
,
ξ
)
{\displaystyle P(\partial _{t},\xi )}
это ОДУ порядка m по t . Пусть
a
m
{\displaystyle a_{m}}
это коэффициент слагаемого наивысшего порядка в
P
(
∂
t
,
ξ
)
{\displaystyle P(\partial _{t},\xi )}
.
Для каждого
ξ
{\displaystyle \xi }
решим
G
(
t
,
ξ
)
{\displaystyle G(t,\xi )}
P
(
∂
t
,
ξ
)
G
(
t
,
ξ
)
=
0
,
∂
t
j
G
(
0
,
ξ
)
=
0
for
0
≤
j
≤
m
−
2
,
∂
t
m
−
1
G
(
0
,
ξ
)
=
1
/
a
m
.
{\displaystyle P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\mbox{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.}
Определим
H
(
t
,
ξ
)
=
G
(
t
,
ξ
)
χ
[
0
,
∞
)
(
t
)
{\displaystyle H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)}
. Тогда
P
(
∂
t
,
ξ
)
H
(
t
,
ξ
)
=
δ
(
t
)
{\displaystyle P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)}
есть обобщённая функция .
u
^
(
t
,
ξ
)
=
(
H
(
⋅
,
ξ
)
∗
F
^
(
⋅
,
ξ
)
)
(
t
)
{\displaystyle {\hat {u}}(t,\xi )=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)}
=
∫
0
∞
G
(
τ
,
ξ
)
F
(
t
−
τ
,
ξ
)
d
τ
{\displaystyle =\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi )F(t-\tau ,\xi )\,d\tau }
=
∫
−
∞
t
G
(
t
−
τ
,
ξ
)
F
(
τ
,
ξ
)
d
τ
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )\,d\tau }
есть решение уравнения (после перехода назад к x ).