Примитивный многочлен (алгебра)

В алгебре примитивный многочлен — это всякий многочлен $f(x)\in R[x]$, где $R$ — ассоциативно-коммутативное кольцо, с однозначным разложением на множители, коэффициенты которого не имеют нетривиальных общих делителей.

Любой многочлен $g(x)\in R[x]$ можно записать в виде $g(x)=c_{g}\cdot f(x)$, где $f(x)$ — примитивный многочлен, a $c_{g}$ — наибольший общий делитель коэффициентов многочлена $g(x)$. Элемент $c_{g}\in R$, определён с точностью до умножения на обратимые элементы из R, он называется содержанием многочлена $g(x)$.

Лемма Гаусса

Основная статья: Лемма Гаусса о приводимости многочленов

Если $g_{1}(x),g_{2}(x)\in R[x]$, то $c_{g_{1}g_{2}}=c_{g_{1}}c_{g_{2}}$. В частности, произведение примитивных многочленов снова примитивно.

Доказательство

Сначала докажем, что произведение примитивных многочленов есть примитивный многочлен. Для этого достаточно проверить, что если простой элемент $p$ кольца $R$ делит все коэффициенты многочлена $f(x)g(x)$, то он является общим делителем всех коэффициентов многочлена $f(x)$ или общим делителем всех коэффициентов многочлена $g(x)$. Пусть $f(x)=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n}x^{n}$, $g(x)=b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{m}x^{m}$, $n=\operatorname {deg} f,m=\operatorname {deg} g$ — степени этих многочленов. Проведем индукцию по $m+n$. Если $m+n=0$, то $m=0$ и $n=0$, $f(x)=a_{0},g(x)=b_{0}$. Если $p$ делит $a_{0}b_{0}$, то так как кольцо $R$ факториально, $p$ делит $a_{0}$ или $p$ делит $b_{0}$, то есть в этом случае утверждение верно. В общем случае $f(x)g(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+\ldots +a_{n}b_{m}x^{n+m}$. Предположим, что некоторый простой элемент $p$ кольца $R$ делит все коэффициенты многочлена $f(x)g(x)$. Так как $p\mid a_{n}b_{m}$ и кольцо $R$ факториально, то $p\mid a_{n}$ или $p\mid b_{m}$. Пусть для определенности $p\mid a_{n}$. Если $n=0$, то $p$ делит все коэффициенты многочлена $f(x)$. Если же $n>0$, то заметим, что $p$ будет и общим делителем всех коэффициентов многочлена $f_{1}(x)g(x)$, где $f_{1}(x)=f(x)-a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+\ldots +a_{n-1}x^{n-1}$. Действительно, все коэффициенты многочлена $f(x)g(x)-f_{1}(x)g(x)=a_{n}x^{n}g(x)$ делятся на $a_{n}$, а значит, и на $p$. По предположению индукции $p$ делит все коэффициенты многочлена $f_{1}(x)$ или все коэффициенты многочлена $g(x)$. В первом случае $p$ делит также и все коэффициенты многочлена $f(x)=f_{1}(x)+a_{n}x^{n}$. По принципу математической индукции утверждение доказано для всех значений $m$ и $n$

Докажем, что $c_{f}c_{f}=c_{fg}$. Пусть $f=c_{f}f_{0}$, $g=c_{g}g_{0}$, где $f_{0}$, $g_{0}$ — примитивные многочлены. Тогда $fg=c_{f}c_{g}f_{0}g_{0}$. Так как многочлен $f_{0}g_{0}$ по доказанному примитивен, то $c_{fg}=c_{f}c_{g}$. Лемма доказана.

Литература

• Зарисский О., Самюэль П., Коммутативная алгебра, пер. с англ., т. 1, М.