Приближение Буссинеска

Уравнения тепловой конвекции (уравнения Буссине́ска, приближение Буссине́ска) в приближении Буссинеска — Обербека — наиболее популярная модель для описания конвекции в жидкостях и газах.

Модель включает в себя уравнение Навье — Стокса, уравнение теплопроводности и уравнение несжимаемости. Основная идея приближения состоит в особенности учёта зависимости плотности от температуры. Именно, в системе уравнений конвекции данная зависимость учитывается только при массовых силах:

$\rho _{0}\left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\right)=-\nabla p+\eta \Delta {\vec {v}}+\rho (T){\vec {g}},$

${\frac {\partial T}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla T=\chi \Delta T,$

$\operatorname {div} {\vec {v}}=0,$

где ${\vec {v}}$ — скорость течения, $T$ — абсолютная температура, $p$ — давление, $\eta$ — динамическая вязкость, $\chi$ — коэффициент температуропроводности, ${\vec {g}}$ — ускорение свободного падения.

Часто для зависимости плотности от температуры применяется линейная аппроксимация:

$\rho (T)=\rho _{0}(1-\beta \theta )$,

где $\beta$ — коэффициент объёмного расширения, $\theta =T-T_{0}$ — отклонение температуры от равновесного состояния, $\rho _{0}$ — плотность жидкости при некоторой равновесной температуре $T_{0}$. Поскольку $\beta$ и отклонение температуры обычно относительно невелико, то линейное приближение обладает приемлемой точностью в большинстве исследуемых задач.

Подстановка линейной зависимости плотности и перенормировка давления позволяют исключить слагаемое $\rho _{0}{\vec {g}}$. Окончательно задача конвекции несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска принимает следующий вид:

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}-\beta \theta {\vec {g}},$

${\frac {\partial \theta }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla \theta =\chi \Delta \theta ,$

$\operatorname {div} {\vec {v}}=0,$

здесь $\nu$ — кинематическая вязкость.

Приведённая задача конвекции в различных постановках неоднократно исследовалась. Наиболее широко известна задача Рэлея — Бенара о конвекции в плоском слое жидкости. При определённых условиях возможно точное решение задачи, например, для ламинарной конвекции в вертикальном слое при подогреве сбоку (иногда встречается под названием «задача Гершуни»).

См. также

• Условие возникновения конвекции

Литература

• Остроумов Г. А. Свободная тепловая конвекция в условиях внутренней задачи. Москва — Ленинград. Гостехиздат.— 1952.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики. Т. 6. Гидродинамика.— М.:Наука.— 1988.—736 с.— § 56
• Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Устойчивость конвективных течений.— М.:Наука.— 1989.
• Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости.— М.:Наука.— 1972.
• Кригель А. М. О применимости приближения свободной конвекции к атмосферной турбулентности // Вестник Ленинградского гос. университета.— Сер.7.—1991.—Вып.2(14).—С.107-110.