Преобразование треугольник-звезда

Преобразование треугольник-звезда — способ эквивалентного преобразования пассивного участка линейной электрической цепи — «треугольника» (соединения трёх ветвей, которое имеет вид треугольника, сторонами которого являются ветви, а вершинами — узлы), в «звезду» (соединение трёх ветвей, которые имеют один общий узел). Эквивалентность «треугольника» и «звезды» обусловлена тем, что при одинаковых напряжениях между одноименными выводами электрической цепи токи, которые втекают в одноименные выводы, а следовательно и мощности также будут одинаковыми.

Дальнейшие рассуждения проводятся для резисторов, но фактически применимы к произвольным импедансам.

Прямое преобразование

Рассмотрим приведенные выше схемы относительно выводов 1 и 2.

В схеме «треугольник» резистор $R_{12}$ соединён параллельно с последовательно соединёнными резисторами $R_{13}$ и $R_{23}$, что соответствует последовательно соединенным сопротивлениям $R_{1}$ и $R_{2}$ в схеме «звезда». Отсюда следует, что:

$R_{1}+R_{2}={\frac {R_{12}\cdot (R_{23}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

Аналогично для других пар выводов:

$R_{1}+R_{3}={\frac {R_{13}\cdot (R_{12}+R_{23})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

$R_{2}+R_{3}={\frac {R_{23}\cdot (R_{12}+R_{13})}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

Решая данную систему уравнений относительно сопротивлений $R_{1}$, $R_{2}$ и $R_{3}$ , получаем:

$R_{1}={\frac {R_{12}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

$R_{2}={\frac {R_{12}\cdot R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

$R_{3}={\frac {R_{23}\cdot R_{13}}{R_{12}+R_{23}+R_{13}}}$

Обратное преобразование

Решив исходную систему уравнений относительно сопротивлений $R_{12}$, $R_{13}$ и $R_{23}$ получим формулы для обратного преобразования, из «звезды» в «треугольник»:

$R_{12}=R_{1}+R_{2}+{\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{3}}}$

$R_{13}=R_{1}+R_{3}+{\frac {R_{1}\cdot R_{3}}{R_{2}}}$

$R_{23}=R_{2}+R_{3}+{\frac {R_{2}\cdot R_{3}}{R_{1}}}$

Применение

Преобразование треугольник-звезда может быть полезным для расчёта сопротивления несбалансированного моста при ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}\neq {\frac {R_{4}}{R_{3}}}$.