Последняя теорема Пуанкаре
Последняя теорема Пуанкаре — утверждение о наличии хотя бы двух неподвижных точек у всякого преобразования плоского кольца, вращающего граничные окружности в противоположных направлениях и при этом сохраняющего площадь. Теорема играет важную роль в теории динамических систем.
Данная теорема была сформулирована Анри Пуанкаре[1]; статью с утверждением он направил в журнал за две недели до смерти. Доказательство дал Джордж Биркгоф[2] спустя полгода; его доказательство содержало неточность, которая была исправлена Брауном и Ньюманом[3].
Формулировка
правитьПусть — плоское кольцо, ограниченное концентрическими окружностями с радиусами и . Пусть также (в полярных координатах) дано отображение этого кольца в себя:
- ,
удовлетворяющее следующим условиям:
- отображение сохраняет площадь и гомотопно тождественному;
- каждая граничная окружность переходит в себя: , ;
- точки с передвигаются против часовой стрелки, а точки с — по часовой стрелке. Более точно, функция непрерывна и и при любом .
Тогда это отображение имеет две неподвижные точки.
Вариации и обобщения
править- Теорема остаётся верной, если вместо сохранения площади потребовать, чтобы никакая область кольца не преобразовывалась в своё собственное подмножество.
Примечания
править- ↑ Poincare H., «Rend. circ. mat. Palermo», 1912, v. 33, p. 375—407
- ↑ Birkhoff G., «Trans. Amer. Math. Soc.», 1913, V. 14, p. 14—22
- ↑ M. Brown, W. D. Neumann. Proof of the Poincaré-Birkhoff fixed point theorem. Архивировано 3 марта 2016 года. // Michigan Math. J. 24 (1977) 21—31. (англ.)
Литература
править- Пуанкаре теорема последняя — статья из Математической энциклопедии. М. И. Войцеховский
- Парс Л. А. Аналитическая динамика, пер. с англ., М.: Наука, 1971. 636 с.
Ссылки
править- Кириллов А. Н. Последняя геометрическая теорема Пуанкаре: история и драма идей (видео) // Семинар по истории математики, Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В. А. Стеклова РАН, 7 сентября 2017 г.