Полукруговой закон Вигнера

Полукруговой закон (или распределение) Вигнера — названное в честь физика Юджина Вигнера абсолютно непрерывное распределение вероятностей на прямой, график плотности которого получается после нормировки из полукруга, построенном на отрезке [-R,R] как на диаметре (тем самым, на самом деле график плотности оказывается полуэллипсом):

Полукруговое распределение
Плотность вероятности
Функция распределения
Параметры	$R>0$ радиус (вещественное положительное число)
Носитель	$x\in [-R;+R]$
Плотность вероятности	${\frac {2}{\pi R^{2}}}\,{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$
Функция распределения	${\frac {1}{2}}+{\frac {x{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}{\pi R^{2}}}+{\frac {\arcsin \!\left({\frac {x}{R}}\right)}{\pi }}$ для $-R\leq x\leq R$
Математическое ожидание	$0$
Медиана	$0$
Мода	$0$
Дисперсия	${\frac {R^{2}}{4}}$
Коэффициент асимметрии	$0$
Коэффициент эксцесса	$-1$
Дифференциальная энтропия	$\ln(\pi R)-{\frac {1}{2}}$
Производящая функция моментов	$2\,{\frac {I_{1}(R\,t)}{R\,t}}$
Характеристическая функция	$2\,{\frac {J_{1}(R\,t)}{R\,t}}$

$\rho (x)={\frac {2}{\pi R^{2}}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}},$

если $x\in [-R,R]$, и $\rho (x)=0$ иначе.

Это распределение было предложено Вигнером в 1955 году в связи с его исследованиями в области квантовой механики, как предельное распределение собственных значений для случайной эрмитовой матрицы большого размера.

Литература

• Weisstein, Eric W. Wigner's Semicircle Law (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Wigner Е. Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions. Ann. of Math., 62 (1955), 548-564.
• Wigner E. On the distribution of the roots of certain symmetric matrices. Ann. of Math., 67 (1958), 325-328.
• Я. Г. Синай, А. Б. Сошников, «Уточнение полукругового закона Вигнера в окрестности края спектра для случайных симметричных матриц», Функц. анализ и его прил., 32:2 (1998), 56-79