Полугруппа с делением

Полугруппа с делением — упорядоченная полугруппа^[англ.] $(S,\cdot ,\leqslant )$ , в которой для любых двух элементов $a$ и $b$ определены правое ( $a/b$ ) и левое ( $b\backslash a$ ) частные, причём выполняются условия:

\forall c\in S\quad c\leqslant a/b\Leftrightarrow c\cdot b\leqslant a

(правое; читается «

a

над

b

»);

\forall c\in S\quad c\leqslant b\backslash a\Leftrightarrow b\cdot c\leqslant a

(левое; читается «

b

под

a

»).

Правое и левое частные для каждых двух элементов определяются однозначно; если полугруппа коммутативна, то правое и левое частные совпадают.

Примеры:

натуральные числа с операцией сложения: $(\mathbb {N} ,+,\geqslant )$ ;
любая импликативная решётка: здесь псевдодополнение играет роль как правого, так и левого частного;
множество всех подмножеств частично упорядоченной полугруппы $S$ с операцией $\cdot :A\cdot B={\Bigl \{}a\cdot b\mid a\in A,b\in B{\Bigr \}}$ , здесь $A/B={\Bigl \{}c\in S\mid \{c\}\cdot B\subseteq A{\Bigr \}}$ (левое — аналогично).

Литетатура

Упорядоченная полугруппа — статья из Математической энциклопедии. Л. Н. Шеврин
Шеврин Л. Н. Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4.