Полиминоид
Полимино́ид (сокр. мино́ид) — набор одинаковых квадратов в трёхмерном пространстве, соединённых рёбрами под углом в 90° или 180°. Все полимино являются плоскими полиминоидами. Поверхность куба представляет собой пример гексаминоида, или полиминоида 6 порядка. Идея рассмотреть полиминоиды, по-видимому, была впервые предложена Ричардом А. Эпштейном[англ.][1].
Соединения под углом 90° называются жёсткими (hard); соединения под углом 180° называются мягкими (soft). Названия типов соединений выбраны исходя из того, что при изготовлении моделей полиминоидов проще было бы изготовить жёсткое соединение под углом 90°, чем жёсткое соединение под углом 180°[2].
Среди полиминоидов различаются жёсткие, все соединения которых выполнены под углом 90°, мягкие, все соединения которых выполнены под углом 180°, и смешанные (mixed), в которых встречаются соединения обоих типов. Исключением является единственный мономиноид, который вовсе не имеет соединений и поэтому считается одновременно мягким и жёстким.
Мягкие полиминоиды являются обычными полимино.
Как и любые другие полиформы, полиминоиды, являющиеся зеркальными отражениями друг друга, могут различаться (в этом случае они называются односторонними полиминоидами) или считаться эквивалентными (в этом случае они называются свободными полиминоидами).
Число полиминоидов
правитьВ следующей таблице приведено число свободных и односторонних полиминоидов до 6 порядка.
| Свободные | Односторонние Всего[3] | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Порядок | Мягкие | Жёсткие | Смешанные | Всего[4] | |
| 1 | 1[5] | 1 | 1 | ||
| 2 | 1 | 1 | 0 | 2 | 2 |
| 3 | 2 | 5 | 2 | 9 | 11 |
| 4 | 5 | 16 | 33 | 54 | 80 |
| 5 | 12 | 89 | 347 | 448 | 780 |
| 6 | 35 | 526 | 4089 | 4650 | 8781 |
Обобщение на случай произвольного числа измерений
правитьВ общем случае можно определить n,k-полиминоид как полиформу, получающуюся путём соединения k-мерных гиперкубов под углом 90° или 180° в n-мерном пространстве, где 1≤k≤n.
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Epstein, Richard A. The Theory of Gambling and Statistical Logic (rev. ed.). — Academic Press, 1977. — С. 369. — ISBN 0-12-240761-X.
- ↑ The Polyominoids(, Geocities.ws Архивная копия от 12 сентября 2015 на Wayback Machine)
- ↑ Число полиминоидов, состоящих из n квадратов, OEIS A056846. Дата обращения: 7 августа 2013. Архивировано 26 августа 2013 года.
- ↑ Число свободных полиминоидов, состоящих из n квадратов, OEIS A075679. Дата обращения: 7 августа 2013. Архивировано 26 августа 2013 года.
- ↑ См. замечание относительно «мягкости» и «жёсткости» мономиноида.