Подстановки Эйлера

Подстановки Эйлера — подстановки, приводящие интегралы вида $\int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})dx$, где $R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})$ — рациональная функция, к интегралам от рациональных функций. Предложены Л. Эйлером в 1768 году.

Подстановки

Первая подстановка

Используется тогда, когда $a>0$ . Производится замена:
${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm t\pm {\sqrt {a}}x$

Вторая подстановка

Используется тогда, когда $c>0$ . Производится замена:
${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm xt\pm {\sqrt {c}}$

Третья подстановка

Используется тогда, когда подкоренное выражение имеет два действительных корня. Производится замена:
${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm t(x-\lambda )$ , где $\lambda$ — один из корней.

Интересные факты

По воспоминаниям ученика Ландау А. И. Ахиезера, тот крайне негативно относился к использованию данных подстановок:

<…> он [Ландау] предложил мне вычислить <…> интеграл от рациональной дроби. <…> я вычислил, не используя стандартных подстановок Эйлера, и это меня спасло, ибо, как я понял впоследствии, Ландау не терпел их и считал, что каждый раз нужно использовать какой-нибудь искусственный прием, что собственно, я и сделал.

— Воспоминания о Л. Д. Ландау

Ссылки

• И. М. Виноградов. Эйлера подстановка // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985.
• Пример использования подстановок Эйлера на PlanetMath(англ.)