Поверхность Боя

Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.

История

Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году. По предложению Гильберта, Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.

Построение

Начните со сферического колпака.
Разделите его край на шесть равных частей и прикрепите к чётным частям три полоски.
Согните каждую полоску и прикрепите другой конец к противоположному участку края колпака. При проходе через полоску должна обращаться ориентация
Склеить оставшиеся края полосок.

Свойства

Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию. То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
- В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы.

Параметризация Брайанта — Кунсера

Наиболее естественная параметризация была предложена Робом Кунсером и Робертом Брайантом^[англ.].^[1]

Для комплексного числа $w$ , пусть

{\begin{aligned}g_{1}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Im} \left[{w\cdot (1-w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{2}&=-{3 \over 2}\cdot \mathrm {Re} \left[{w\cdot (1+w^{4}) \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]\\g_{3}&=\mathrm {Im} \left[{1+w^{6} \over w^{6}+{\sqrt {5}}\cdot w^{3}-1}\right]-{1 \over 2}\\\end{aligned}}

Поверхность $w\mapsto (g_{1},\;g_{2},\;g_{3})$ является минимальной поверхностью с тремя концами. Её инверсия, то есть поверхность $w\mapsto (x,\;y,\;z)$ задаваемая как

{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\frac {1}{g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+g_{3}^{2}}}\cdot {\begin{pmatrix}g_{1}\\g_{2}\\g_{3}\end{pmatrix}}.

и есть поверхности Боя.

Замечания

Поверхность остаётся неизменной при замене $w\mapsto -{\tfrac {1}{\bar {w}}}$ , где ${\bar {w}}$ комплексно-сопряженное к $w$ .

См. также

поверхность Морина

Примечания

↑ Raymond O'Neil Wells. The Mathematical Heritage of Hermann Weyl (May 12–16, 1987, Duke University, Durham, North Carolina) (англ.). — American Mathematical Soc., 1988. — P. 227—240. — (Proc. Sympos. Pure Math.). — ISBN 978-0-8218-1482-6. — doi:10.1090/pspum/048/974338.

Литература

Kirby, Rob (November 2007), "What is Boy's surface?" (PDF), Notices of the AMS, 54 (10): 1306—1307 Архивная копия от 4 августа 2016 на Wayback Machine описывет полиэдральную модель поверхности Боя.
- Casselman, Bill (November 2007), "Collapsing Boy's Umbrellas" (PDF), Notices of the AMS, 54 (10): 1356 Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine Article on the cover illustration that accompanies the Rob Kirby article.
Kusner, Rob (1987), "Conformal geometry and complete minimal surfaces" (PDF), Bulletin of the American Mathematical Society (New series), 17 (2): 291—295, doi:10.1090/S0273-0979-1987-15564-9 Архивная копия от 7 сентября 2008 на Wayback Machine.
Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (2011), The Boy surface at Oberwolfach Архивная копия от 26 декабря 2019 на Wayback Machine.
Morin, Bernard (1978), "Equations du retournement de la sphère", C. R. Acad. Sci. Paris, 287 (13): A879—A882
Sanderson, B. Boy's will be Boy's Архивная копия от 17 апреля 2007 на Wayback Machine.

Внешние ссылки

Страница, посвященная поверхности Боя, содержащие различные визуализации различных уравнений, а также полезные ссылки и ссылки Архивная копия от 8 июля 2016 на Wayback Machine
[1] Архивная копия от 19 октября 2008 на Wayback Machine - апплет плюс журнал.
[2] Архивная копия от 12 июля 2016 на Wayback Machine, содержит в том числе оригинальные статьи Архивная копия от 8 сентября 2016 на Wayback Machine, и внедрение Архивная копия от 8 сентября 2016 на Wayback Machine в тополога в Обервольфах мальчика поверхностью.
[3] Архивная копия от 16 сентября 2016 на Wayback Machine
Бумажная модель для поверхности Боя — выкройка и инструкции
Модель на основе java, которая может быть свободно повернута Архивная копия от 14 августа 2016 на Wayback Machine
Поверхность поля линии окраски Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine
поверхность Боя Архивная копия от 16 мая 2016 на Wayback Machine визуализации видео из математического Института сербской Академии наук и искусств
[4] Архивная копия от 18 апреля 2016 на Wayback Machine как сделать поверхность Боя, используя ножницы, кусок бумаги, и скотча. План бумаги в видео.

[Wells1988-1] Raymond O'Neil Wells. The Mathematical Heritage of Hermann Weyl (May 12–16, 1987, Duke University, Durham, North Carolina) (англ.). — American Mathematical Soc., 1988. — P. 227—240. — (Proc. Sympos. Pure Math.). — ISBN 978-0-8218-1482-6. — doi:10.1090/pspum/048/974338.

[1]