Плоскость Немыцкого

Плоскость Немыцкого — общетопологический пример совершенного пространства, не являющегося нормальным^[1]. Обозначается, как правило, $L$ .

Определена Александровым и Хопфом в 1935 году и используется в курсах по общей топологии как «универсальный контрпример»^[2]: дидактическая ценность её в том, что благодаря простоте построения плоскость Немыцкого может быть наглядно представлена студентам на первых же лекциях по общей топологии, и в дальнейшем использоваться как сквозной пример для всего курса.

Построение

Строится как подпространство плоскости с точками $(x;y)$ , где $y\geqslant 0$ с изменением топологии в точках $(x;0)$ : база окрестностей таких точек — открытые круги $B((x,\epsilon ),\epsilon )$ и сама точка $(x;0)$ , где $B(p,r)$ — круг радиуса $r$ с центром в точке $p$ .

Отсутствие нормальности вытекает из такого же наглядного замечания, как и в случае с квадратом стрелки: $L$ — сепарабельное пространство с несчётным замкнутым дискретом (ось абсцисс имеет даже мощность континуума).

Свойства

Плоскость Немыцкого является связным, сепарабельным ( $d(L)=\omega$ ) и нелинделёфовым ( $l(L)=2^{\omega }$ ), вещественно полным пространством^[3]. Его клеточность и характер счётны ( $c(L)=\omega$ , $\chi (L)=\omega$ ), а вес — несчётен ( $w(L)=2^{\omega }$ ). При этом не является счётно паракомпактным^[4], слабо паракомпактным^[5], локально компактным пространством.