Начал свою игровую карьеру в клубе «Кладно». После двух сезонов в чешской Экстралиге, в 2002 году уехал за океан. На протяжении 16 сезонов подряд играл за «Монреаль Канадиенс», 25 февраля2018 года обменян в «Торонто Мейпл Лифс» после того, как «Монреаль» лишился шансов сыграть в плей-офф. 1 июля 2018 года объявил о возвращении в «Монреаль», подписав 1-летний контракт на сумму 2,25 млн долларов (еще 1,25 млн может заработать на бонусах)[3]. 15 октября 2018 года провел свой 1000-й матч в регулярных чемпионатах НХЛ, забил шайбу и тем самым помог «Монреалю» одержать победу над «Детройтом» со счетом 7:3[4]. 9 ноября 2018 года «Монреаль» выставил игрока на драфт отказов, после чего расторг с ним контракт.[5] 11 ноября 2018 года Плеканец в последний раз перед возвращением в Чехию присутствовал на игре своей команды в Монреале и вся заполненная арена аплодировала ему за 15 сезонов, проведённых в клубе[6].
1 декабря 2018 года Плеканец провёл свой первый матч после возвращения в Чехию. Забросив шайбу, он помог своему родному клубу «Кладно» обыграть «Литомержице» со счётом 4:2[7]. Помимо «Кладно» Плеканец выступает в Экстралиге за команду «Комета Брно». 6 декабря он дебютировал за «Комету» в игре против пражской «Спарты». Несмотря на набранные 2 очка (гол и передача) его команда проиграла со счётом 3:4[8]. Концовку чемпионата Плеканец играл только за «Кладно», которому помог вернуться в Экстралигу спустя 5 лет.
Летом 2019 года «Комета» объявила о подписании контракта на 1 год с Томашом Плеканцем[9]. Через год снова вернулся в «Кладно», которому помог выйти в Экстралигу во второй раз за 3 года.
C 2006 по 2018 годы регулярно играл за сборную Чехии на крупных турнирах. Участник 11 чемпионатов мира, двух Олимпиад и кубка мира. Трижды становился призером чемпионатов мира. Всего за чешскую сборную провел 103 игры, набрал 59 (28+31) очков. Также в 2001 году стал победителем молодёжного чемпионата мира.
Был женат на чешской актрисе и певицеЛуции Вондрачковой, 4 декабря2011 года у пары родился сын Матьяш. 23 июня 2015 года у пары родился сын Адам[10]. В 2018 году Плеканец и Вондрачкова расстались[11]. Новой подругой Плеканца стала знаменитая чешская теннисистка Луция Шафаржова[12]. Летом 2019 года стало известно о том, что Томаш Плеканец станет отцом в 3-й раз: 19 декабря 2019 года у Плеканца и Шафаржовой родилась дочь Леонтина[13].