Перестройка Морса

Хирургия, или перестройка Морса — преобразование гладких многообразий, которому подвергается многообразие уровня гладкой функции при переходе через невырожденную критическую точку; важнейшая конструкция в дифференциальной топологии.

Важная роль хирургии в топологии многообразий объясняется тем, что они позволяют «деликатно» (не нарушая тех или иных свойств многообразия) уничтожать «лишние» гомотопические группы (обычно используемая с этой целью в теории гомотопий операция «приклеивания клетки» мгновенно выводит из класса многообразий). Практически все теоремы классификации структур на многообразиях основываются на изучении вопроса, когда для отображения $f:M\to X$ замкнутого многообразия $M$ в клеточное пространство $X$ существуют такой бордизм $(W;M,N)$ и такое отображение $F:W\to X$, что $F|_{M}=f$, а $F|_{N}:\to X$ является гомотопической эквивалентностью. Естественный путь решения этой задачи состоит в том, чтобы последовательностью хирургий уничтожить ядра гомоморфизмов $f^{*}:\pi _{k}(M)\to \pi _{k}(X)$ (где $\pi _{k}$ — гомотопические группы). Если это удаётся, то результирующее отображение будет гомотопической эквивалентностью. Изучение соответствующих препятствий (лежащих в т. н. группах Уолла) явилось одним из главнейших стимулов в развитии алгебраической L-теории.

Конструкция

Пусть $V$ — гладкое $n$-мерное многообразие (без края), в которое (гладко) вложена $(k-1)$-мерная сфера $S^{k-1}$. Предположим, что нормальное расслоение сферы $S^{k-1}$ в многообразии $V$ тривиально, то есть что замкнутая трубчатая окрестность $T$ сферы $S^{k-1}$ в $V$ разлагается в прямое произведение $T=S^{k-1}\times D^{n-k+1}$, где $D^{n-k+1}$ — диск размерности $n-k+1$. Выбрав такое разложение, вырежем из $V$ внутренность окрестности $T$. Получится многообразие, край которого разложен в произведение $S^{k-1}\times S^{n-k}$ сфер. Точно такой же край имеет многообразие $D^{k}\times S^{n-k}$. Отождествив края этих многообразий по диффеоморфизму, сохраняющему структуру прямого произведения, снова получим многообразие $V'$ без края, которое и называется результатом хирургии многообразия $V$ вдоль сферы $S^{k-1}$.

Для осуществления хирургии необходимо задать разложение окрестности $T$ сферы $S^{k-1}$ в прямое произведение, то есть тривиализацию нормального расслоения сферы $S^{k-1}$ в многообразии $V$, при этом разные тривиализации (оснащения) могут давать существенно различные (даже гомотопически) многообразия $V'$.

Число $k$ называется индексом хирургии, а пара $(k,n-k+1)$ её типом. Если $V'$ получается из $V$ хирургией типа $(i,j)$, то $V$ получается из $V'$ хирургией типа $(j,i)$. При $k=0$ многообразие $V'$ является дизъюнктным объединением многообразия $V$ (которое может быть в этом случае пустым) и сферы $S^{n}$.

Примеры

• При $V=S^{2}$ и $k=2$ в результате хирургии получается дизъюнктное объединение двух сфер, а при $k=1$ — тор.
• При $V=S^{3}$ и $k=2$ получается произведение $S^{1}\times S^{2}$.
• Случай $V=S^{3}$ и $k=1$ сложнее: если сфера $S^{1}$ вложена в $S^{3}$ стандартным образом (большая окружность), то в зависимости от выбора её тривиализации нормального расслоения получаются линзовые пространства; если же допустить заузливание сферы $S^{1}$, то получается ещё больший набор трёхмерных многообразий.

Свойства

• Если $V$ является краем $(n+1)$-мерного многообразия $M$, то $V'$ будет краем многообразия $M'$, полученного из $M$ приклеиванием ручки индекса $k$.
  • В частности, если $f$ — гладкая функция на многообразии $M$ и $a<b$ — такие числа, что множество $f^{-1}([a,b])$ компактно и содержит единственную критическую точку $p$, которая невырождена, то многообразие $V_{b}=f^{-1}(b)$ получается из многообразия $V_{a}=f^{-1}(a)$ хирургией индекса $k$, где $k$ — индекс Морса критической точки $p$.
  • Более общим образом, любая перестройка $V'$ многообразия $V$ индекса $k$ определяет некоторый бордизм $(W;V,V')$, и на триаде $(W;V,V')$ существует функция Морса, обладающая единственной критической точкой индекса $k$, причем любой бордизм $(W;V,V')$, на котором существует такого рода функция Морса, получается этим способом.
  • Отсюда (и из существования на триадах функций Морса) следует, что два многообразия тогда и только тогда бордантны, когда одно из них получается из другого конечной последовательностью хирургий.
• При известных предосторожностях в обращении с ориентациями результат хирургии ориентированного многообразия будет снова ориентированным многообразием.

Вариации и обобщения

• Конструкция хирургии может быть проведена также для кусочно-линейных и топологических многообразий.