Переменные действие — угол

Переменные действие — угол — пара канонически сопряженных переменных классической механической системы, в которой роль импульса играет переменная действия — адиабатический инвариант.

Производящей функцией для канонического преобразования в новых переменных является функция

$S_{0}(q,E)=\int p(q,E)dq$,

где $E$ — энергия — однозначно связана с адиабатическим инвариантом $I$.

Канонически сопряженная к переменной действия угловая переменная $\omega$ определяется как

$\omega ={\frac {\partial S_{0}(q,I)}{\partial I}}$.

Уравнения движения в переменных «действие — угол» имеют очень простой вид:

${\dot {I}}=0$,

${\dot {\omega }}={\frac {dE}{dI}}=\nu (I)$.

Таким образом, адиабатический инвариант $I$ является интегралом движения, а угловая переменная возрастает со временем по линейному закону. За один период угловая переменная увеличивается на $2\pi$. Переменные координата $q$ и импульс $p$ являются периодическими функциями угловой переменной.

Пример

Найдем переменные «действие — угол» для гармонического осциллятора

$E={\frac {1}{2}}(p^{2}+\omega ^{2}q^{2})\implies p(E,q)=\pm {\sqrt {2E-\omega ^{2}q^{2}}}$.

По определению

$I={\frac {1}{2\pi }}\oint p(E,q)dq={\frac {1}{\pi }}\int _{-{\frac {\sqrt {2E}}{\omega }}}^{\frac {\sqrt {2E}}{\omega }}{\sqrt {2E-\omega ^{2}q^{2}}}dq={\frac {E}{\omega }}$.

А значит, производящая функция канонического преобразования имеет вид

$S_{0}(I,q)=\omega \int ^{q}{\sqrt {{\frac {2I}{\omega }}-x^{2}}}dx$

По определению переменной «угол»

$\theta ={\frac {\partial S_{0}}{\partial I}}=\int ^{q}{\frac {dx}{\sqrt {{\frac {2I}{\omega }}-x^{2}}}}=\arcsin {\frac {q}{\sqrt {\frac {2I}{\omega }}}}$

Координата $q$ и импульс $p$ выражаются тогда через переменные «действие — угол» следующим образом:

$q={\sqrt {\frac {2I}{\omega }}}\sin \theta$.

$p={\frac {\partial S_{0}}{\partial q}}=\omega {\sqrt {{\frac {2I}{\omega }}-q^{2}}}={\sqrt {2I\omega }}\cos \theta$

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. Теоретическая физика, т. 1. — Госиздат, 1958. — 206 с.

См. также

• Суперинтегрируемая гамильтонова система