Пусть функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
a
;
b
]
{\displaystyle [a;b]}
m
{\displaystyle m}
M
{\displaystyle M}
m
≤
f
(
x
)
≤
M
{\displaystyle m\leq f(x)\leq M}
μ
{\displaystyle \mu }
m
≤
μ
≤
M
{\displaystyle m\leq \mu \leq M}
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
μ
(
b
−
a
)
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=\mu (b-a)}
Из неравенства
m
≤
f
(
x
)
≤
M
{\displaystyle m\leq f(x)\leq M}
монотонности интеграла имеем
m
(
b
−
a
)
≤
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≤
M
(
b
−
a
)
{\displaystyle m(b-a)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x\leq M(b-a)}
Обозначив
μ
=
1
b
−
a
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \mu ={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}
μ
{\displaystyle \mu }
средним значением функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
a
;
b
]
{\displaystyle [a;b]}
Если функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
непрерывна на
[
a
;
b
]
{\displaystyle [a;b]}
m
{\displaystyle m}
M
{\displaystyle M}
теореме Вейерштрасса , достигаются),
тогда по теореме о промежуточном значении существует такая точка
c
∈
[
a
;
b
]
{\displaystyle c\in [a;b]}
f
(
c
)
=
μ
{\displaystyle f(c)=\mu }
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
f
(
c
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=f(c)(b-a)}
Если воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница , то это равенство запишется как
F
(
b
)
−
F
(
a
)
=
F
′
(
c
)
(
b
−
a
)
{\displaystyle F(b)-F(a)=F'(c)\;(b-a)}
где
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
первообразная функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
формула Лагранжа для функции
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
Пусть функции
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
[
a
;
b
]
{\displaystyle [a;b]}
m
≤
f
(
x
)
≤
M
{\displaystyle m\leq f(x)\leq M}
g
(
x
)
≥
0
{\displaystyle g(x)\geq 0}
g
(
x
)
≤
0
{\displaystyle g(x)\leq 0}
μ
{\displaystyle \mu }
m
≤
μ
≤
M
{\displaystyle m\leq \mu \leq M}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
μ
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=\mu \int \limits _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}
Пусть
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
m
g
(
x
)
≤
f
(
x
)
g
(
x
)
≤
M
g
(
x
)
{\displaystyle mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)}
откуда, ввиду монотонности интеграла
m
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
≤
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
≤
M
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle m\int \limits _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x\leq M\int \limits _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}
Если
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=0}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=0}
μ
{\displaystyle \mu }
μ
=
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \mu ={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}{\int \limits _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}}}
Обобщение доказано. Если функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
c
∈
[
a
;
b
]
{\displaystyle c\in [a;b]}
∫
a
b
f
(
x
)
g
(
x
)
d
x
=
f
(
c
)
∫
a
b
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x=f(c)\int \limits _{a}^{b}g(x)\mathop {} \!\mathrm {d} x}
(аналогично предыдущему).
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М. : Наука, 1969. — Т. II.Зорич В. А. Математический анализ. Ч. I. — М. : Наука, 1981. 
![{\displaystyle [a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68e776d74130a8890a814c1f4e74372a9110d2f9)
![{\displaystyle c\in [a;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02b8df5ba00bbc02820be401c0dbc93d73392da8)
