Согласно классическому определению, две плоскости называются параллельными
Аналитическое определение параллельных плоскостей:
если плоскости
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
z
+
D
1
=
0
{\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0}
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
z
+
D
2
=
0
{\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0}
нормальные векторы
N
1
(
A
1
,
B
1
,
C
1
)
{\displaystyle N_{1}(A_{1},B_{1},C_{1})}
N
2
(
A
2
,
B
2
,
C
2
)
{\displaystyle N_{2}(A_{2},B_{2},C_{2})}
коллинеарны (и обратно). Поэтому условие
A
2
A
1
=
B
2
B
1
=
C
2
C
1
{\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}}
[ 1]
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны;
Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну;
Отрезки параллельных прямых, ограниченные двумя параллельными плоскостями, равны;
Два угла с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами равны и лежат в параллельных плоскостях.
Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.
Плоскости
2
x
−
3
y
−
4
z
+
11
=
0
{\displaystyle 2x-3y-4z+11=0}
−
4
x
+
6
y
+
8
z
+
36
=
0
{\displaystyle -4x+6y+8z+36=0}
−
4
2
=
6
−
3
=
8
−
4
{\displaystyle {\frac {-4}{2}}={\frac {6}{-3}}={\frac {8}{-4}}}
Плоскости
2
x
−
3
z
−
12
=
0
(
A
1
=
2
,
B
1
=
0
,
C
1
=
−
3
)
{\displaystyle 2x-3z-12=0(A_{1}=2,B_{1}=0,C_{1}=-3)}
4
x
+
4
y
−
6
z
+
7
=
0
(
A
2
=
4
,
B
2
=
4
,
C
2
=
−
6
)
{\displaystyle 4x+4y-6z+7=0(A_{2}=4,B_{2}=4,C_{2}=-6)}
B
1
=
0
{\displaystyle B_{1}=0}
B
2
≠
0
{\displaystyle B_{2}\neq 0}
Если не только коэффициенты при координатах, но и свободные члены пропорциональны, то есть если
A
2
A
1
=
B
2
B
1
=
C
2
C
1
=
D
2
D
1
,
{\displaystyle {\frac {A_{2}}{A_{1}}}={\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}},}
[ 2]
3
x
+
7
y
+
5
z
+
4
=
0
{\displaystyle 3x+7y+5z+4=0}
6
x
+
14
y
+
10
z
+
8
=
0
{\displaystyle 6x+14y+10z+8=0}
↑ при
A
1
,
B
1
,
C
1
≠
0
{\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1}\neq 0}
A
1
=
0
{\displaystyle A_{1}=0}
A
2
=
0
,
B
2
B
1
=
C
2
C
1
{\displaystyle A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}}
B
1
=
0
{\displaystyle B_{1}=0}
C
1
=
0
{\displaystyle C_{1}=0}
↑ при
A
1
,
B
1
,
C
1
,
D
1
≠
0
{\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}\neq 0}
A
1
=
0
{\displaystyle A_{1}=0}
A
2
=
0
,
B
2
B
1
=
C
2
C
1
=
D
2
D
1
{\displaystyle A_{2}=0,{\frac {B_{2}}{B_{1}}}={\frac {C_{2}}{C_{1}}}={\frac {D_{2}}{D_{1}}}}
B
1
=
0
,
C
1
=
0
{\displaystyle B_{1}=0,C_{1}=0}
D
1
=
0
{\displaystyle D_{1}=0}
