Предпорядок

Предпоря́док (квазипоря́док) — бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности. Обычно это отношение обозначается $\preccurlyeq$, тогда аксиомы предпорядка на множестве $M$ принимают вид:

$\forall a\in M\colon a\preccurlyeq a$,

$\forall a,b,c\in M\colon (a\preccurlyeq b\land b\preccurlyeq c)\Rightarrow (a\preccurlyeq c)$.

Линейный предпорядок — предпорядок на множестве, для которого любые два элемента множества сравнимы:

$\forall a,b\in X\colon (a\preccurlyeq b)\lor (b\preccurlyeq a)$.

Теория категорий

Категория ${\mathcal {P}}$ называется предпорядком, если для любых двух объектов $a,b\in Ob{\mathcal {P}}$ существует не более одного морфизма $f\colon a\to b$. Если ${\mathcal {P}}$ — малая категория, то на множестве её объектов можно задать отношение предпорядка по следующему правилу:

$a\preccurlyeq b\iff \exists f\colon a\to b$.

Из аксиом категории следует, что такое отношение будет рефлексивным и транзитивным. Предпорядок — абстрактная категория, то есть его в общем случае нельзя представить как категорию некоторых множеств с заданной структурой и отображениями, сохраняющими эту структуру. Также предпорядок — скелетная категория.

Если малая категория ${\mathcal {C}}$ полна в малом, то она является предпорядком, причём каждое малое множество его элементов имеет наибольшую нижнюю грань. Произведение набора (множества, класса) объектов предпорядка — это наибольшая нижняя грань для этого набора. Копроизведение набора объектов — это его наименьшая верхняя грань. Начальный объект $0$ в предпорядке ${\mathcal {P}}$, если он существует, — это его наименьший объект, так что $\forall a\in {\mathcal {P}}\colon 0\preccurlyeq a$. Аналогично, терминальный объект предпорядка — это наибольший объект в нём.

Объектами категории предпорядков (обозначаемой обычно $\mathbf {Preord}$) являются предпорядки (в смысле категорий), в частности, множества, на которых задано отношение предпорядка. Морфизмы в этой категории — отображения множеств, сохраняющие отношение предпорядка, то есть монотонные отображения. Подкатегория малых предпорядков $\mathbf {Preord} _{S}$ — конкретная категория, наделённая очевидным унивалентным забывающим функтором:

$U\colon \mathbf {Preord} _{S}\to \mathbf {Set}$,

сопоставляющим каждому малому предпорядку множество его объектов, а каждому морфизму — монотонное отображение соответствующих множеств. Этот функтор создаёт пределы в $\mathbf {Preord}$. Таким образом, аналогично $\mathbf {Set}$, начальным объектом в $\mathbf {Preord}$ является пустое множество, терминальным объектом — множество из одного элемента, произведением объектов — прямое произведение соответствующих множеств с покомпонентным сравнением.

Литература

• Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.