Объект категории

Объе́кт катего́рии — базовое, неопределяемое понятие теории категорий, применяемое для обозначения элементов категории, в роли которых могут выступать математические объекты, объединяемые заданной категорией в совокупность — таковыми могут быть, например, множества (объекты категории множеств), алгебраические системы определённого класса (например, кольца — объекты категории колец), топологические пространства (объекты категории топологических пространств), схемы (объекты категории схем).

Кроме класса объектов, каждая категория состоит также из класса морфизмов — совокупностей преобразований объектов; при этом морфизмы одной категории могут рассматриваться как объекты в какой-либо другой или наоборот, то есть, разделение составляющих категории на объекты и морфизмы имеет смысл только в рамках фиксированной категории.

Для заданной категории ${\mathcal {C}}$ класс её объектов обычно обозначается $Ob_{\mathcal {C}}$. Всякому объекту $A\in Ob_{\mathcal {C}}$ соответствует единственный единичный морфизм $1_{A}\colon A\to A$, притом уникальный в данной категории, то есть единичные морфизмы разных объектов совпадать не могут. Благодаря этому факту можно определить понятие категории не прибегая к введению объектов, а лишь с помощью морфизмов. Кроме того, в построениях теории высших категорий объекты называют «0-морфизмами», морфизмы объектов (морфизмы в обычном смысле) — «1-морфизмами», морфизмы морфизмов — «2-морфизмами» и так далее, тем самым подчёркивая общность объектов и их преобразований в категорном языке. Тем не менее, понятие объекта категории является удобным для описания соответствующего вида элементов, поэтому практически всегда используется.

Некоторые типы объектов

• Объект $P\in Ob\,{\mathcal {C}}$ называется универсальным притягивающим (терминальным) объектом, если для любого объекта $A\in Ob\,{\mathcal {C}}$ существует единственный морфизм $A{\stackrel {f}{\longrightarrow }}P$.
• Объект $R\in Ob\,{\mathcal {C}}$ называется универсальным отталкивающим (инициальным, начальным) объектом, если для любого объекта $A\in Ob\,{\mathcal {C}}$ существует единственный морфизм $R{\stackrel {f}{\longrightarrow }}A$.
• Объект $R\in Ob\,{\mathcal {C}}$ называется нулевым, если он одновременно универсальный притягивающий и отталкивающий.

Литература

• Маклейн С. Глава 1. Категории, функторы и естественные преобразования // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 17—42. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.